วิชา 2 · FE ระดับมหาวิทยาลัย

Financial Engineering
ฉบับมหาวิทยาลัย

วิศวกรรมการเงินระดับมหาวิทยาลัย — 12 โมดูล ตั้งแต่รากฐานคณิตการเงิน กระบวนการสุ่ม การตั้งราคาอนุพันธ์ ไปจนถึงการจัดการความเสี่ยงและแบบจำลองเชิงคำนวณ พร้อมสูตรจริง ตัวอย่างคำนวณ และบททดสอบ

📏 ระดับตามจริง: ครอบคลุมวิชา derivatives/FE ระดับ ปริญญาตรีเกรด A เต็มตัว และเป็นรากฐานก่อนเข้าหลักสูตรปริญญาโท (MFE) — ส่วนที่ MFE เต็มรูปแบบมีเพิ่ม (measure theory/Girsanov, martingale pricing เป็นทางการ, stochastic volatility เช่น Heston, term structure ขั้นสูง, copula) ยังไม่รวมในเล่มนี้

เรียบเรียงโดยผู้เขียน · Norms OS · ใช้คู่กับ FE ฉบับทั่วไป · สูตรเรนเดอร์ด้วย KaTeX

🔑 วิศวกรรมการเงินคืออะไร

Financial Engineering คือการใช้ คณิตศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · สถิติ · และวิธีเชิงคำนวณ มาแก้ปัญหาเรื่องการเงิน 3 อย่างหลัก:

วิศวกรการเงินไม่ได้ทำนายว่าราคาจะขึ้นหรือลง — เขาสร้างเครื่องมือ "ตั้งราคา-วัด-ป้องกัน" ความไม่แน่นอนอย่างเป็นระบบ
⚠️ หมายเหตุสำคัญ: เล่มนี้สอน "วิธีคิดเชิงปริมาณ" เพื่อเข้าใจกลไกราคาและความเสี่ยง ไม่ใช่ระบบทำนายราคาหรือสัญญาณซื้อขาย โมเดลทุกตัวมีสมมติฐานและมีจุดพัง (อ่านโมดูล 9 และ 12) — ใช้เป็นเครื่องมือคิดและจัดการความเสี่ยง ไม่ใช่ลูกแก้ววิเศษ

แต่ละโมดูลมี นิยาม → สัญชาตญาณ → ทฤษฎี+สูตร → ตัวอย่างคำนวณ → เชื่อมกับงานจริง → ศัพท์ และปิดท้ายแต่ละกลุ่มด้วย บททดสอบเลือกตอบเฉลยทันที

📐 พื้นฐานที่ควรมีก่อนอ่าน + วิธีอ่าน

  1. พีชคณิตและเลขชี้กำลัง/ลอการิทึม พอใช้ได้ก็เริ่มได้ — ส่วนแคลคูลัส/ความน่าจะเป็น เล่มนี้ปูให้ในโมดูล 1-3
  2. อ่านเรียงโมดูล รอบแรก — แต่ละกลุ่มต่อยอดจากกลุ่มก่อนหน้า (รากฐาน → ตั้งราคา → พอร์ต/ความเสี่ยง → เชิงคำนวณ)
  3. ลองทำตามตัวอย่างคำนวณ ด้วยเครื่องคิดเลข — สูตรจะ "เข้าหัว" ก็ต่อเมื่อกดเลขเอง
  4. ทำบททดสอบท้ายกลุ่ม ถ้าตอบผิดให้กลับไปอ่านโมดูลนั้นซ้ำ

สารบัญ · 12 โมดูล

กลุ่ม 1 · รากฐาน (Foundations)
M1 · คณิตศาสตร์การเงิน Financial Mathematics M2 · ความน่าจะเป็น + สถิติการเงิน Probability & Statistics M3 · กระบวนการสุ่ม Stochastic Processes 📝 บททดสอบกลุ่ม 1
กลุ่ม 2 · อนุพันธ์ & การตั้งราคา (Derivatives & Pricing)
M4 · อนุพันธ์: ฟอร์เวิร์ด ฟิวเจอร์ส ออปชั่น Derivatives M5 · แบบจำลอง Black-Scholes-Merton BSM Model M6 · ค่ากรีก + การเฮดจ์ The Greeks & Hedging 📝 บททดสอบกลุ่ม 2
กลุ่ม 3 · พอร์ต ดอกเบี้ย ความเสี่ยง (Portfolio, Rates, Risk)
M7 · ตราสารหนี้ + แบบจำลองดอกเบี้ย Fixed Income M8 · ทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอ Portfolio Theory M9 · การจัดการความเสี่ยง Risk Management 📝 บททดสอบกลุ่ม 3
กลุ่ม 4 · เชิงคำนวณ + ขั้นสูง (Computational & Advanced)
M10 · วิธีเชิงตัวเลข Numerical Methods M11 · อนุกรมเวลา + ความผันผวน Time Series & Volatility M12 · ความเสี่ยงเครดิต + ผลิตภัณฑ์โครงสร้าง Credit & Structured 📝 บททดสอบกลุ่ม 4
กลุ่ม 1

รากฐาน

เครื่องมือคณิตที่ทุกอย่างใน FE ตั้งอยู่บน — มูลค่าเงินตามเวลา สถิติของผลตอบแทน และคณิตของความสุ่ม

M1

คณิตศาสตร์การเงิน

Financial Mathematics

นิยาม

คณิตศาสตร์การเงินคือชุดเครื่องมือที่ใช้วัด มูลค่าของเงินในมิติของเวลา เงินจำนวนเดียวกัน ณ วันนี้มีค่าไม่เท่ากับวันหน้า เพราะสามารถนำไปลงทุนและได้ผลตอบแทนเพิ่ม แนวคิดนี้เป็นรากของการประเมินราคาสินทรัพย์ทุกชนิด ตั้งแต่พันธบัตร หุ้น ไปจนถึงสัญญาอนุพันธ์

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ลองนึกภาพว่าผู้อ่านต้องเลือกระหว่าง "รับ 100,000 บาทวันนี้" กับ "รับ 100,000 บาทในอีก 5 ปี" ทุกคนย่อมเลือกรับวันนี้ เพราะเงินที่มีอยู่เดี๋ยวนี้สามารถทบต้นได้ ส่วนต่างที่เกิดขึ้นจากเวลานี่แหละคือหัวใจของ Financial Mathematics ทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นการตีราคาหุ้น คำนวณดอกเบี้ยสินเชื่อ หรือกำหนดราคาออปชัน ล้วนย้อนกลับมาหลักการนี้ทั้งสิ้น

ทฤษฎีและสูตร

มูลค่าอนาคต (Future Value) — หากนำเงิน $PV$ ไปลงทุนที่อัตราดอกเบี้ย $r$ ต่องวด เป็นเวลา $n$ งวด มูลค่าที่ได้ในอนาคตคือ

$$FV = PV(1+r)^n$$

โดยที่ $PV$ = มูลค่าปัจจุบัน (Present Value) · $r$ = อัตราดอกเบี้ยต่องวด · $n$ = จำนวนงวด

การทบต้นต่อเนื่อง (Continuous Compounding) — เมื่อเพิ่มความถี่ในการทบต้นจนไม่มีที่สิ้นสุด สูตรเข้าสู่รูปเลขชี้กำลัง

$$FV = PV\,e^{rT}$$

โดยที่ $e \approx 2.71828$ · $r$ = อัตราทบต้นต่อเนื่อง · $T$ = เวลาในหน่วยปี

มูลค่าปัจจุบัน (Present Value / Discounting) — คิดย้อนกลับจาก $FV$ มาหา $PV$

$$PV = \frac{FV}{(1+r)^n}$$

กระบวนการนี้เรียกว่า การคิดลด (discounting) ใช้ตีราคากระแสเงินสดในอนาคต

อัตราดอกเบี้ยแท้จริงต่อปี (Effective Annual Rate) — เมื่อทบต้น $m$ ครั้งต่อปีที่อัตราระบุ $r$

$$\left(1+\frac{r}{m}\right)^m - 1 \;\xrightarrow{m\to\infty}\; e^{r}-1$$

โดยที่ $m$ = จำนวนครั้งที่ทบต้นต่อปี เมื่อ $m \to \infty$ ได้สูตรทบต้นต่อเนื่อง

ผลตอบแทนแบบง่าย (Simple Return)

$$R_t=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$$

โดยที่ $P_t$ = ราคา ณ เวลา $t$ · $P_{t-1}$ = ราคางวดก่อนหน้า ค่าที่ได้อ่านเป็นเปอร์เซ็นต์กำไร/ขาดทุนต่องวด

ผลตอบแทนลอการิทึม (Log Return)

$$r_t=\ln\!\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

โดยที่ $\ln$ = ลอการิทึมธรรมชาติ ข้อได้เปรียบสำคัญคือ log return สามารถ บวกกันข้ามช่วงเวลาได้โดยตรง เช่น log return รายวัน 5 วันบวกกันได้ผล log return รายสัปดาห์ทันที ทำให้สะดวกมากในการวิเคราะห์ทางสถิติ

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด (Annuity) — รับเงิน $C$ ต่องวด เป็นเวลา $n$ งวด

$$PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$

และกรณีรับไปตลอดชีพ (perpetuity)

$$PV=\frac{C}{r}$$

โดยที่ $C$ = จำนวนเงินงวดคงที่ · $r$ = อัตราคิดลดต่องวด

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: ฝากเงิน 100,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี เป็นเวลา 5 ปี ทบต้นรายปี จะได้เงินเท่าไร?

ใช้สูตร $FV = PV(1+r)^n$

$$FV = 100{,}000 \times (1.06)^5 = 100{,}000 \times 1.33823 \approx 133{,}823 \text{ บาท}$$

ดอกเบี้ยที่ได้ทั้งหมด = $133{,}823 - 100{,}000 = 33{,}823$ บาท สังเกตว่าหากดอกเบี้ยไม่ทบต้นจะได้เพียง $6{,}000 \times 5 = 30{,}000$ บาท ส่วนต่าง 3,823 บาทนี้คือพลังของการทบต้น

เทียบกับทบต้นต่อเนื่อง: $FV = 100{,}000 \times e^{0.06 \times 5} = 100{,}000 \times e^{0.30} \approx 134{,}986$ บาท — ได้มากกว่าเล็กน้อย

🎯 เชื่อมกับงานจริง

นักวิเคราะห์ใช้สูตร PV ทุกครั้งที่ประเมินมูลค่าบริษัทด้วยวิธี DCF (Discounted Cash Flow) — นำกระแสเงินสดที่คาดว่าจะได้ในอนาคตมาคิดลดกลับมาเป็นมูลค่าวันนี้ อัตราคิดลดที่เลือกใช้ (discount rate) ส่งผลต่อมูลค่าประเมินมาก ยิ่ง $r$ สูง ราคายิ่งต่ำ นี่คือเหตุผลที่ราคาหุ้นเทคโนโลยีมักตกหนักเมื่อดอกเบี้ยนโยบายปรับขึ้น

ในงาน Quant สูตร log return ใช้ทั่วไปเพราะบวกกันข้ามเวลาได้ ทำให้สร้างชุดข้อมูลสถิติที่สะอาดกว่า การเข้าใจความแตกต่างระหว่าง simple return กับ log return ช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการวัดผลพอร์ตระยะยาว

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Time Value of Money (มูลค่าเงินตามเวลา)
หลักการที่ว่าเงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะมีโอกาสสร้างผลตอบแทน
Compounding (การทบต้น)
กระบวนการที่ดอกเบี้ยถูกนำไปรวมกับเงินต้นแล้วสร้างดอกเบี้ยเพิ่มในรอบถัดไป
Discounting (การคิดลด)
การหามูลค่าปัจจุบันของเงินในอนาคตโดยหารด้วยตัวคูณปรับลด
Discount Rate (อัตราคิดลด)
อัตราผลตอบแทนที่ใช้แปลงกระแสเงินสดในอนาคตกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบัน สะท้อนความเสี่ยงและต้นทุนโอกาส
Continuous Compounding (ทบต้นต่อเนื่อง)
การทบต้นที่เพิ่มความถี่จนไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์ใช้ฟังก์ชัน $e^{rT}$
Simple Return (ผลตอบแทนแบบง่าย)
กำไรหรือขาดทุนต่องวดวัดเป็นเปอร์เซ็นต์ของราคาเริ่มต้น คำนวณง่ายแต่ไม่สามารถบวกข้ามเวลาโดยตรง
Log Return (ผลตอบแทนลอการิทึม)
ผลตอบแทนวัดในรูปลอการิทึมธรรมชาติ บวกสะสมข้ามเวลาได้ นิยมใช้ในสถิติการเงินและโมเดลราคา
Annuity (เงินงวด)
กระแสเงินสดคงที่ที่จ่ายซ้ำๆ ในระยะเวลาที่กำหนด เช่น ผ่อนบ้าน เบี้ยประกัน
Perpetuity (เงินงวดตลอดชีพ)
เงินงวดที่จ่ายไม่มีที่สิ้นสุด มูลค่าปัจจุบันเท่ากับ $C/r$ ใช้อ้างอิงในการประเมินมูลค่าหุ้น
Effective Annual Rate / EAR (อัตราดอกเบี้ยแท้จริงต่อปี)
อัตราดอกเบี้ยที่สะท้อนผลของการทบต้นจริง ใช้เปรียบเทียบผลิตภัณฑ์ที่มีความถี่ทบต้นต่างกัน
M2

ความน่าจะเป็นและสถิติการเงิน

Probability & Financial Statistics

นิยาม

สถิติการเงินคือการนำเครื่องมือความน่าจะเป็นมาวัดและจัดการ ความไม่แน่นอน ของผลตอบแทน ผู้อ่านไม่สามารถรู้ล่วงหน้าได้ว่าราคาหุ้นพรุ่งนี้จะเป็นเท่าใด แต่สามารถอธิบายการกระจายตัวของผลตอบแทนที่เป็นไปได้ วัดความเสี่ยง และหาความสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ได้ นั่นคือสิ่งที่โมดูลนี้ให้เครื่องมือ

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ความเสี่ยงและผลตอบแทนเป็นของคู่กัน แต่การวัดทั้งสองอย่างอย่างถูกต้องต้องอาศัยสถิติ ค่าเฉลี่ยบอกว่า "คาดหวังอะไร" ความแปรปรวนบอกว่า "ผลลัพธ์อาจกระจายกว้างแค่ไหน" และสหสัมพันธ์บอกว่า "สินทรัพย์สองตัวเคลื่อนที่ไปด้วยกันหรือตรงข้ามกัน" สามค่านี้เป็นพื้นฐานของทุกโมเดลพอร์ตโฟลิโอและการบริหารความเสี่ยง

ทฤษฎีและสูตร

ค่าคาดหวัง (Expected Value) — ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น

$$E[X]=\sum_i x_i\,p_i$$

โดยที่ $x_i$ = ค่าที่ตัวแปรสุ่ม $X$ สามารถเป็นได้ · $p_i$ = ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่า $x_i$

ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Variance & Standard Deviation)

$$\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2,\qquad \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$

โดยที่ $\mu = E[X]$ · $\sigma$ (ซิกมา) คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในการเงินเรียก $\sigma$ ว่า ความผันผวน (volatility) ซึ่งเป็นตัววัดความเสี่ยงพื้นฐานที่สุด

การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)

ถ้า $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ หมายความว่า $X$ มีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ กราฟรูประฆังแบบสมมาตร ใน FE มักสมมติให้ log return แจกแจงปกติ แม้ในความเป็นจริงจะมีข้อจำกัด (ดูเรื่อง fat tails ด้านล่าง)

ความแปรปรวนร่วมและสหสัมพันธ์ (Covariance & Correlation)

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)],\qquad \rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$$

โดยที่ $\mu_X, \mu_Y$ = ค่าเฉลี่ยของ $X$ และ $Y$ ตามลำดับ · $\rho_{XY}$ (โร) อยู่ในช่วง $[-1, 1]$ · ค่า $\rho = 1$ หมายถึงเคลื่อนที่ไปทิศเดียวกันสมบูรณ์ · $\rho = -1$ หมายถึงทิศตรงข้ามสมบูรณ์ · $\rho = 0$ หมายถึงไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น

ความแปรปรวนของพอร์ตโฟลิโอ 2 สินทรัพย์

$$\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\,\sigma_1\sigma_2$$

โดยที่ $w_1, w_2$ = สัดส่วนน้ำหนักของสินทรัพย์ 1 และ 2 ($w_1+w_2=1$) · $\sigma_1, \sigma_2$ = ความผันผวนของแต่ละสินทรัพย์ · $\rho$ = สหสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ทั้งสอง เมื่อ $\rho < 1$ ความเสี่ยงรวมจะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก — นี่คือ ผลของการกระจาย (diversification)

การปรับความผันผวนเป็นรายปี

$$\sigma_{\text{ปี}}=\sigma_{\text{วัน}}\sqrt{252}$$

โดยที่ 252 = จำนวนวันทำการต่อปีโดยประมาณ ความผันผวนขยายตามรากที่สองของเวลา ซึ่งเป็นคุณสมบัติของกระบวนการสุ่มอิสระ

หางอ้วนและ Kurtosis (Fat Tails)

ในการแจกแจงปกติ เหตุการณ์ห่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่า 3 เท่าของ $\sigma$ มีโอกาสเกิดน้อยมาก แต่ผลตอบแทนจริงในตลาดกลับมี หางอ้วน (fat tails) — เหตุการณ์สุดโต่งเกิดบ่อยกว่าที่โมเดลปกติทำนายไว้อย่างมีนัยสำคัญ ค่า kurtosis วัดความ "อ้วน" ของหาง การแจกแจงปกติมี kurtosis = 3 แต่ผลตอบแทนหุ้นมักมี kurtosis สูงกว่า 3 (เรียกว่า leptokurtic) นี่คือสาเหตุหลักที่โมเดลที่ตั้งสมมติฐานว่าผลตอบแทนแจกแจงปกติมักประเมินความเสี่ยงต่ำเกินไป และพังเมื่อเจอวิกฤต เช่น เหตุการณ์ปี 2008

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: พอร์ตประกอบด้วยสินทรัพย์ 2 ตัว ถือน้ำหนักเท่ากัน $w_1 = w_2 = 0.5$ ทั้งคู่มีความผันผวน $\sigma_1 = \sigma_2 = 20\%$ และมีสหสัมพันธ์ $\rho = 0$ (ไม่สัมพันธ์กัน) ความเสี่ยงของพอร์ตเป็นเท่าไร?

$$\sigma_p^2 = (0.5)^2(0.20)^2 + (0.5)^2(0.20)^2 + 2(0.5)(0.5)(0)(0.20)(0.20)$$
$$= 0.25 \times 0.04 + 0.25 \times 0.04 + 0 = 0.01 + 0.01 = 0.02$$
$$\sigma_p = \sqrt{0.02} \approx 14.1\%$$

แม้สินทรัพย์แต่ละตัวเสี่ยง 20% แต่พอร์ตรวมเสี่ยงเพียง 14.1% — ลดลงถึง ~30% เพราะกระจายการลงทุน หากเพิ่มสหสัมพันธ์เป็น $\rho = 1$ ความเสี่ยงพอร์ตจะเท่ากับ 20% พอดี (ไม่ได้ประโยชน์จากการกระจายเลย)

🎯 เชื่อมกับงานจริง

นักบริหารความเสี่ยงใช้ $\sigma$ เป็นตัววัดหลักในการคำนวณ VaR (Value at Risk) ซึ่งบอกว่า "ในกรณีเลวร้ายระดับ 1% ของเวลา พอร์ตจะขาดทุนสูงสุดเท่าไร" สหสัมพันธ์ $\rho$ ระหว่างสินทรัพย์เป็นข้อมูลสำคัญสุดในการสร้างพอร์ตที่กระจายความเสี่ยงได้จริง เพราะสินทรัพย์ที่ดูเหมือนไม่สัมพันธ์กันในภาวะปกติ มักเพิ่มสหสัมพันธ์จนถึงใกล้ 1 ในช่วงวิกฤต — ซึ่งทำให้การกระจายล้มเหลวในเวลาที่ต้องการมากที่สุด ความเข้าใจเรื่อง fat tails ช่วยให้เลือกโมเดลที่เหมาะสมกว่าการสมมติแจกแจงปกติแบบตายตัว

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Random Variable (ตัวแปรสุ่ม)
ตัวแปรที่ค่าของมันขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของเหตุการณ์สุ่ม เช่น ผลตอบแทนของหุ้นพรุ่งนี้
Expected Value / Mean (ค่าคาดหวัง / ค่าเฉลี่ย)
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น แทนด้วย $\mu$ หรือ $E[X]$
Variance (ความแปรปรวน)
ค่าเฉลี่ยของกำลังสองของความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย วัดว่าข้อมูลกระจายแค่ไหน แทนด้วย $\sigma^2$
Volatility (ความผันผวน)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ($\sigma$) ของผลตอบแทน ใช้วัดความเสี่ยงในโลกการเงิน
Normal Distribution (การแจกแจงปกติ)
การแจกแจงความน่าจะเป็นรูประฆังที่สมมาตร กำหนดด้วย $\mu$ และ $\sigma^2$ ใช้เป็นสมมติฐานพื้นฐานในหลายโมเดล
Covariance (ความแปรปรวนร่วม)
วัดทิศทางความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว ค่าบวกหมายถึงเคลื่อนไปด้วยกัน ค่าลบหมายถึงสวนทางกัน
Correlation (สหสัมพันธ์)
ความแปรปรวนร่วมที่ปรับมาตรฐานแล้ว อยู่ในช่วง $[-1, 1]$ ไม่มีหน่วย เปรียบเทียบข้ามสินทรัพย์ได้
Diversification (การกระจายความเสี่ยง)
การลดความเสี่ยงโดยผสมสินทรัพย์ที่ไม่สัมพันธ์กันสมบูรณ์ ความเสี่ยงรวมต่ำกว่าค่าเฉลี่ย
Fat Tails / Heavy Tails (หางอ้วน)
คุณสมบัติที่เหตุการณ์สุดโต่งเกิดบ่อยกว่าที่การแจกแจงปกติพยากรณ์ พบในผลตอบแทนสินทรัพย์ทางการเงินจริง
Kurtosis (ความโด่ง)
ค่าสถิติที่วัดความหนาของหาง การแจกแจงปกติมี kurtosis = 3 ค่าสูงกว่านี้บ่งชี้หางอ้วน
M3

กระบวนการสุ่ม

Stochastic Processes

นิยาม

กระบวนการสุ่ม (Stochastic Process) คือลำดับของตัวแปรสุ่มที่จัดเรียงตามเวลา $\{X_t\}_{t \ge 0}$ แทนที่จะวัดค่าตัวแปรสุ่มครั้งเดียว เราติดตามวิวัฒนาการของมันผ่านกาลเวลา ราคาหุ้น อัตราดอกเบี้ย และอัตราแลกเปลี่ยน ล้วนเป็นกระบวนการสุ่มในโลกจริง โมดูลนี้สร้างภาษาทางคณิตที่ทำให้สามารถอธิบายพฤติกรรมราคาได้อย่างเป็นระบบ

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ถ้า M1 และ M2 เป็นการถ่ายภาพนิ่ง (snapshot) ของตัวเลขทางการเงิน M3 คือการถ่ายวิดีโอ — ดูว่าสิ่งเหล่านั้นเคลื่อนที่อย่างไรในเวลา ความเข้าใจนี้จำเป็นสำหรับการตีราคาออปชัน การสร้างกลยุทธ์ป้องกันความเสี่ยง และการจำลอง Monte Carlo ทั้งหมดนี้ต้องอาศัยโมเดลที่อธิบายได้ว่า "ราคาจะเดินทางอย่างไรตลอดอายุสัญญา"

ทฤษฎีและสูตร

มาร์ติงเกล (Martingale) — กระบวนการที่ "ไม่มีข้อมูลในอดีตช่วยทำนายอนาคตได้ดีกว่าค่าปัจจุบัน"

$$E[X_{t+1}\mid \mathcal{F}_t]=X_t$$

โดยที่ $\mathcal{F}_t$ = ข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่ ณ เวลา $t$ (filtration) ราคาสินทรัพย์ในตลาดที่มีประสิทธิภาพ (efficient market) มีพฤติกรรมคล้ายมาร์ติงเกลภายใต้ probability measure ที่เหมาะสม แนวคิดนี้เป็นรากฐานของทฤษฎี no-arbitrage

การเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian Motion / Wiener Process) — $W_t$ ที่มีคุณสมบัติ:

  • $W_0 = 0$ (เริ่มต้นที่ศูนย์)
  • ส่วนเพิ่ม $W_t - W_s \sim N(0,\, t-s)$ สำหรับ $t > s$ (เพิ่มขึ้นตามรูปแจกแจงปกติ)
  • ส่วนเพิ่มในช่วงเวลาต่างกันเป็นอิสระจากกัน (independent increments)
  • เส้นทางของ $W_t$ ต่อเนื่องแต่ไม่หาอนุพันธ์ในแบบปกติได้ (nowhere differentiable)

$W_t$ เป็นแบบจำลองมาตรฐานของ "สัญญาณรบกวนสุ่มแบบต่อเนื่อง" ในโลกการเงิน

การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต (Geometric Brownian Motion / GBM)

$$dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t$$

โดยที่ $S_t$ = ราคาสินทรัพย์ ณ เวลา $t$ · $\mu$ = อัตราดริฟต์ (drift) หรืออัตราผลตอบแทนที่คาดหวังต่อปี · $\sigma$ = ความผันผวนต่อปี · $dW_t$ = ส่วนเพิ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในช่วงเวลา $dt$ สมการนี้บอกว่าการเปลี่ยนแปลงราคาแต่ละขณะประกอบด้วยสองส่วน: เทรนด์ที่กำหนดได้ ($\mu S_t\,dt$) และสัญญาณรบกวนสุ่ม ($\sigma S_t\,dW_t$)

บทตั้งของอิโต (Itô's Lemma) — สูตรห่วงโซ่สำหรับ stochastic calculus เมื่อ $S_t$ เป็น GBM และ $f(t,S)$ เป็นฟังก์ชันที่ differentiable

$$df=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)dt+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW$$

เทอมพิเศษ $\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}$ เรียกว่า Itô correction ซึ่งไม่ปรากฏใน calculus ธรรมดา เกิดจากคุณสมบัติที่ว่า $(dW_t)^2 = dt$ ใน stochastic calculus บทตั้งนี้เป็นเครื่องมือหลักในการอนุมานสมการ Black–Scholes

ผลเฉลยของ GBM

$$S_T=S_0\exp\!\left(\left(\mu-\tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T\right)$$

โดยที่ $S_0$ = ราคาเริ่มต้น · $T$ = เวลาในอนาคต · $W_T \sim N(0,T)$ สูตรนี้ได้มาจากการใช้ Itô's Lemma กับ $f = \ln S$ แล้วแก้สมการ ผลที่ได้คือ $\ln(S_T/S_0)$ แจกแจงปกติ หมายความว่าราคา $S_T$ เป็นบวกเสมอ (lognormal) และ log return แจกแจงปกติ ซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตในตลาดจริงในระดับหนึ่ง

Volatility Drag — เทอม $-\tfrac{1}{2}\sigma^2$ ในเลขชี้กำลังคือ volatility drag บอกว่าค่าคาดหวังของ log return ต่อปีต่ำกว่า $\mu$ เสมอ เพราะความผันผวนกัดกร่อนผลตอบแทนทบต้น ยิ่งผันผวนมาก ยิ่งลดทอนการเติบโตระยะยาว

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: สมมติหุ้นตัวหนึ่งมีพารามิเตอร์ $\mu = 10\%$ ต่อปี และ $\sigma = 20\%$ ต่อปี ค่าคาดหวังของ log return ต่อปีจริงๆ คือเท่าไร?

จากสูตร GBM ค่าคาดหวังของ log return คือ

$$\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2 = 10\% - \tfrac{1}{2}(20\%)^2 = 10\% - \tfrac{1}{2}(0.04) = 10\% - 2\% = 8\%$$

แม้เราจะบอกว่าหุ้นให้ผลตอบแทนเฉลี่ย 10% ต่อปี แต่การเติบโตแบบทบต้นจริงๆ (geometric mean) อยู่ที่ประมาณ 8% ต่อปีเท่านั้น ส่วนต่าง 2% คือ volatility drag ที่เกิดจาก $\sigma = 20\%$ นี่คือเหตุผลที่หุ้นที่ผันผวนมากต้องให้ผลตอบแทนสูงกว่า จึงจะคุ้มค่าสำหรับนักลงทุนระยะยาว

สังเกต: ยิ่ง $\sigma$ สูง volatility drag ยิ่งมาก ถ้า $\sigma = 40\%$ drag จะเป็น $\tfrac{1}{2}(0.16) = 8\%$ ต่อปี

🎯 เชื่อมกับงานจริง

GBM เป็นแบบจำลองราคาหุ้นที่ใช้ใน Black–Scholes Model สำหรับตีราคาออปชัน แม้โมเดลนี้จะมีข้อจำกัด (เช่น สมมติ $\sigma$ คงที่ ซึ่งไม่เป็นจริง) แต่ก็เป็นจุดเริ่มต้นมาตรฐานที่ทุก quant ต้องเข้าใจก่อนขยับไปโมเดลที่ซับซ้อนขึ้น Itô's Lemma เป็นเครื่องมือที่นักวิเคราะห์ใช้ทุกครั้งที่ต้องหา dynamics ของตราสารอนุพันธ์ที่เขียนบนสินทรัพย์อ้างอิง และความเข้าใจเรื่อง volatility drag ช่วยอธิบายว่าทำไม Leveraged ETF ที่รีบาลานซ์ทุกวันจึงให้ผลตอบแทนระยะยาวต่ำกว่าที่นักลงทุนหลายคนคาดไว้

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Stochastic Process (กระบวนการสุ่ม)
ลำดับของตัวแปรสุ่มที่จัดเรียงตามเวลา $\{X_t\}_{t \ge 0}$ ใช้จำลองวิวัฒนาการของราคาและอัตราต่างๆ
Random Walk (การเดินแบบสุ่ม)
กระบวนการที่แต่ละก้าวเพิ่มจากตำแหน่งปัจจุบันด้วยค่าสุ่มอิสระ เป็นรูปแบบแยกเวลาของ Brownian Motion
Martingale (มาร์ติงเกล)
กระบวนการที่ค่าคาดหวังในอนาคตเท่ากับค่าปัจจุบัน ราคายุติธรรมของสัญญาอนุพันธ์เป็น martingale ภายใต้ risk-neutral measure
Brownian Motion / Wiener Process
กระบวนการสุ่มต่อเนื่องพื้นฐานที่มีส่วนเพิ่มเป็นอิสระและแจกแจงปกติ แทนด้วย $W_t$
Geometric Brownian Motion / GBM
แบบจำลองราคาสินทรัพย์มาตรฐาน $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ ทำให้ราคาเป็นบวกเสมอและ log return แจกแจงปกติ
Drift (ดริฟต์)
เทรนด์ที่กำหนดได้ในกระบวนการสุ่ม ($\mu$ ใน GBM) แทนอัตราผลตอบแทนที่คาดหวังโดยเฉลี่ย
Itô's Lemma (บทตั้งของอิโต)
สูตรห่วงโซ่สำหรับ stochastic calculus ใช้หาสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของฟังก์ชันที่ขึ้นกับ $S_t$
Lognormal Distribution (การแจกแจงลอกนอร์มัล)
การแจกแจงที่ logarithm ของตัวแปรแจกแจงปกติ ราคาสินทรัพย์ใน GBM มีการแจกแจงแบบนี้ จึงเป็นบวกเสมอ
Volatility Drag
การลดทอนผลตอบแทนทบต้นระยะยาวเนื่องจากความผันผวน มีขนาด $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ ต่อปี
Filtration ($\mathcal{F}_t$)
ชุดของข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่ ณ เวลา $t$ ใช้นิยามแนวคิด "เงื่อนไขบนข้อมูลปัจจุบัน" ใน martingale และ conditional expectation

📝 บททดสอบกลุ่ม 1 · รากฐาน

เลือกคำตอบ ระบบเฉลยพร้อมคำอธิบายทันที

ฝากเงิน 50,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี แบบทบต้นรายปี เป็นเวลา 3 ปี มูลค่าในอนาคตใกล้เคียงกับข้อใดมากที่สุด?

เฉลย C: $FV = 50{,}000 \times (1.08)^3 = 50{,}000 \times 1.25971 \approx 62{,}987$ บาท ตัวเลือก B (60,000) คือดอกเบี้ยแบบธรรมดา 3 ปีไม่ทบต้น ซึ่งให้ผลต่ำกว่าการทบต้น

ข้อใดอธิบายข้อดีของการใช้ Log Return ($r_t = \ln(P_t/P_{t-1})$) แทน Simple Return ได้ถูกต้องที่สุด?

เฉลย B: คุณสมบัติเด่นของ log return คือ additive over time — log return หลายงวดบวกกันได้เป็น log return รวม ทำให้สร้างชุดข้อมูลสถิติที่สะอาดและเหมาะกับการวิเคราะห์ความผันผวน ตัวเลือก C ผิดเพราะ log return เป็นลบได้เมื่อราคาลดลง

พอร์ตประกอบด้วยสินทรัพย์ A และ B ถือน้ำหนักเท่ากัน ทั้งคู่มี $\sigma = 15\%$ และมีสหสัมพันธ์ $\rho = 1$ ความผันผวนของพอร์ตรวมเป็นเท่าไร?

เฉลย D: เมื่อ $\rho = 1$ สินทรัพย์เคลื่อนที่ไปด้วยกันสมบูรณ์ ไม่มีประโยชน์จากการกระจาย $\sigma_p^2 = (0.5)^2(0.15)^2 + (0.5)^2(0.15)^2 + 2(0.5)(0.5)(1)(0.15)(0.15) = 0.0225$ → $\sigma_p = 15\%$ เท่ากับสินทรัพย์แต่ละตัวพอดี

เหตุใด Geometric Brownian Motion (GBM) จึงนิยมใช้เป็นแบบจำลองราคาหุ้นมากกว่า Arithmetic Brownian Motion ธรรมดา?

เฉลย A: ใน Arithmetic BM ราคาอาจติดลบได้ ซึ่งไม่มีความหมายทางเศรษฐกิจ GBM แก้ปัญหานี้ด้วยการทำให้ $S_T = S_0 e^{(\ldots)}$ ซึ่งเป็นบวกเสมอ และ $\ln(S_T/S_0)$ แจกแจงปกติซึ่งสะดวกต่อการวิเคราะห์ทางสถิติ

หุ้นตัวหนึ่งมี $\mu = 12\%$ ต่อปี และ $\sigma = 30\%$ ต่อปี ค่าคาดหวังของ log return ต่อปีจากโมเดล GBM คือข้อใด?

เฉลย B: ค่าคาดหวังของ log return = $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2 = 12\% - \tfrac{1}{2}(30\%)^2 = 12\% - \tfrac{1}{2}(0.09) = 12\% - 4.5\% = 7.5\%$ ส่วนต่าง 4.5% คือ volatility drag — ยิ่ง $\sigma$ สูง การเติบโตทบต้นระยะยาวยิ่งถูกกัดกร่อนมาก
กลุ่ม 2

อนุพันธ์ & การตั้งราคา

หัวใจของวิศวกรรมการเงิน — สัญญาอนุพันธ์คืออะไร และเราตั้งราคาออปชั่นอย่างมีหลักการได้อย่างไร

M4

อนุพันธ์: ฟอร์เวิร์ด ฟิวเจอร์ส ออปชั่น

Derivatives: Forwards, Futures, Options

นิยาม

อนุพันธ์ (derivative) คือสัญญาทางการเงินที่มูลค่าของมันขึ้นอยู่กับมูลค่าของสินทรัพย์อ้างอิง (underlying asset) อาจเป็นหุ้น พันธบัตร อัตราแลกเปลี่ยน สินค้าโภคภัณฑ์ หรือดัชนี อนุพันธ์พื้นฐานมีสามประเภทหลัก

  • ฟอร์เวิร์ด (Forward) — สัญญาระหว่างสองฝ่ายซื้อขายสินทรัพย์ในราคาและวันที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ซื้อขายนอกตลาด (OTC) ปรับแต่งเงื่อนไขได้
  • ฟิวเจอร์ส (Futures) — คล้ายฟอร์เวิร์ดแต่ซื้อขายในตลาดมาตรฐาน มีการ mark-to-market ทุกวัน คือกำไร/ขาดทุนรับรู้และชำระทุกสิ้นวัน ผู้ถือต้องวางเงินประกัน (margin) และอาจได้รับ margin call ถ้าขาดทุนสะสมเกินเกณฑ์
  • ออปชั่น (Option) — ให้สิทธิ์ (ไม่ใช่ภาระ) แก่ผู้ซื้อในการซื้อ (call) หรือขาย (put) สินทรัพย์อ้างอิงในราคาที่กำหนด (strike price $K$) ภายในหรือ ณ วันหมดอายุ $T$

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

อนุพันธ์เกิดขึ้นเพราะโลกธุรกิจต้องการเครื่องมือโอนความเสี่ยง บริษัทส่งออกที่รับเงินดอลลาร์ล่วงหน้าสามารถล็อกราคาแลกเปลี่ยนด้วยฟอร์เวิร์ด เกษตรกรล็อกราคาข้าวโพดด้วยฟิวเจอร์ส กองทุนป้องกันความเสี่ยงขาลงด้วย put option สิ่งที่ทำให้อนุพันธ์ทรงพลังคือเลเวอเรจ — ผู้อ่านควบคุมมูลค่าสินทรัพย์จำนวนมากด้วยเงินลงทุนเพียงน้อยนิด ซึ่งขณะเดียวกันก็ขยายทั้งกำไรและขาดทุนด้วย

ความต่างหลักระหว่าง forward กับ futures: forward ชำระครั้งเดียว ณ วันส่งมอบ ขณะที่ futures ชำระกำไร/ขาดทุนทุกวันผ่านระบบ clearing house ซึ่งช่วยลดความเสี่ยงคู่สัญญา (counterparty risk)

ทฤษฎีและสูตร

ราคาฟอร์เวิร์ด (ไม่มีเงินปันผล) — ได้จากหลักการ no-arbitrage: ราคาฟอร์เวิร์ดที่ยุติธรรมต้องทำให้ไม่มีกำไรไร้ความเสี่ยง

$$F_0 = S_0\,e^{rT}$$

โดยที่ $S_0$ = ราคาสินทรัพย์อ้างอิงในปัจจุบัน · $r$ = อัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงแบบต่อเนื่อง (continuously compounded) · $T$ = เวลาหมดอายุ (ปี)

กรณีสินทรัพย์จ่ายเงินปันผลในอัตรา $q$ แบบต่อเนื่อง เช่น ดัชนีหุ้น

$$F_0 = S_0\,e^{(r-q)T}$$

โดยที่ $q$ = อัตราเงินปันผลแบบต่อเนื่อง — ผู้ถือสัญญาฟิวเจอร์สไม่ได้รับเงินปันผล จึงต้องหักออกจากราคาฟอร์เวิร์ด

ผลตอบแทนออปชั่น ณ วันหมดอายุ (payoff)

$$\text{Call payoff} = \max(S_T - K,\; 0)$$
$$\text{Put payoff} = \max(K - S_T,\; 0)$$

โดยที่ $S_T$ = ราคาสินทรัพย์ ณ วันหมดอายุ · $K$ = ราคาใช้สิทธิ์ (strike price) ผู้ถือ call ได้ประโยชน์เมื่อราคาสูงกว่า $K$ ส่วนผู้ถือ put ได้ประโยชน์เมื่อราคาต่ำกว่า $K$

พาริตีคอล-พุต (Put-Call Parity) — ความสัมพันธ์สำคัญที่บังคับใช้โดย no-arbitrage

$$C + Ke^{-rT} = P + S_0$$

โดยที่ $C$ = ราคา call · $P$ = ราคา put · ทั้งสองมี strike $K$ และวันหมดอายุ $T$ เดียวกัน ถ้าสมการนี้ไม่ถือ จะมีช่องทางทำ arbitrage ได้ทันที

Moneyness บ่งบอกสถานะของออปชั่นเทียบกับราคาปัจจุบัน

  • In-the-money (ITM) — call: $S_0 > K$ · put: $S_0 < K$ (ออกกำไรถ้าหมดอายุตอนนี้)
  • At-the-money (ATM) — $S_0 \approx K$
  • Out-of-the-money (OTM) — call: $S_0 < K$ · put: $S_0 > K$ (ยังไม่คุ้มออกกำไร)

Intrinsic value vs Time value: ราคาออปชั่น = intrinsic value (มูลค่าถ้าใช้สิทธิ์ตอนนี้) + time value (มูลค่าจากความไม่แน่นอนที่เหลืออยู่จนหมดอายุ) ออปชั่น OTM มี intrinsic value เป็นศูนย์ แต่ยังมี time value เนื่องจากราคาอาจเคลื่อนไหวเข้า ITM ได้

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: หุ้น XYZ ราคาปัจจุบัน $S_0 = 100$ บาท อัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยง $r = 5\%$ ต่อปี (ต่อเนื่อง) ไม่มีเงินปันผล สัญญาหมดอายุใน $T = 1$ ปี จงหาราคาฟอร์เวิร์ดที่ยุติธรรม

$$F_0 = 100 \times e^{0.05 \times 1} = 100 \times 1.05127 \approx 105.13 \text{ บาท}$$

หมายความว่า ถ้าวันนี้ทำสัญญาซื้อหุ้นในอีก 1 ปี ราคายุติธรรมที่ไม่เกิด arbitrage คือ 105.13 บาท ถ้าราคาฟอร์เวิร์ดในตลาดสูงกว่านี้ ผู้อ่านสามารถ short ฟอร์เวิร์ดและ long หุ้น (กู้เงิน) เพื่อทำกำไรไร้ความเสี่ยงได้

ตรวจสอบ Put-Call Parity: สมมติ $C = 10$ บาท (call ATM) $K = 100$, $r = 5\%$, $T = 1$

$$P = C + Ke^{-rT} - S_0 = 10 + 100e^{-0.05} - 100 = 10 + 95.12 - 100 = 5.12 \text{ บาท}$$

ดังนั้น put ราคา ATM เดียวกันควรอยู่ที่ประมาณ 5.12 บาท

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • นักลงทุนสถาบัน ใช้ index futures เพื่อปรับ beta ของพอร์ตอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องซื้อขายหุ้นจริงทีละตัว
  • บริษัทข้ามชาติ ใช้ FX forward ล็อกราคาแลกเปลี่ยนสำหรับรายได้จากต่างประเทศใน 6–12 เดือนข้างหน้า
  • กองทุนป้องกันความเสี่ยง ซื้อ put options เพื่อจำกัดขาดทุนสูงสุด (tail risk hedge) ในขณะที่ยังถือหุ้นต่อไป
  • ฝ่ายการเงินบริษัท ใช้ interest rate swap (อนุพันธ์อีกประเภท) แปลงดอกเบี้ยลอยตัวเป็นคงที่เพื่อวางแผนกระแสเงินสดได้แน่นอนขึ้น

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Underlying asset
สินทรัพย์อ้างอิงที่มูลค่าอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับมัน เช่น หุ้น ดัชนี สินค้าโภคภัณฑ์
Strike price ($K$)
ราคาใช้สิทธิ์ — ราคาที่ตกลงซื้อ/ขายสินทรัพย์เมื่อออปชั่นถูกใช้สิทธิ์
Expiry / Maturity ($T$)
วันหมดอายุของสัญญา หลังจากนี้ออปชั่นไม่มีค่า
Long position
ฝ่ายซื้อสัญญา ผู้ถือ long call ได้ประโยชน์จากราคาขึ้น ผู้ถือ long put ได้ประโยชน์จากราคาลง
Short position
ฝ่ายขาย/เขียนสัญญา รับพรีเมียมทันที แต่มีภาระผูกพันถ้าผู้ซื้อใช้สิทธิ์
Mark-to-market
การรับรู้กำไร/ขาดทุนของฟิวเจอร์สทุกสิ้นวัน ต่างจาก forward ที่รับรู้ครั้งเดียวเมื่อส่งมอบ
No-arbitrage principle
หลักการที่ว่าในตลาดที่มีประสิทธิภาพ ไม่ควรมีกำไรไร้ความเสี่ยงโดยไม่ต้องลงทุน ใช้อนุมานราคาฟอร์เวิร์ดและ put-call parity
Intrinsic value
มูลค่าขั้นต่ำของออปชั่นถ้าใช้สิทธิ์ทันที = $\max(S_0 - K, 0)$ สำหรับ call
Time value
ส่วนต่างระหว่างราคาออปชั่นกับ intrinsic value สะท้อนความเป็นไปได้ที่ราคาจะเคลื่อนไหวเป็นประโยชน์ก่อนหมดอายุ
Premium
ราคาที่ผู้ซื้อออปชั่นจ่ายให้ผู้ขาย ชำระ ณ วันทำสัญญา ไม่ใช่ ณ วันหมดอายุ
M5

แบบจำลอง Black-Scholes-Merton

Black-Scholes-Merton (BSM) Model

นิยาม

แบบจำลอง Black-Scholes-Merton (BSM) คือกรอบคณิตศาสตร์สำหรับหาราคาที่ยุติธรรมของออปชั่นแบบยุโรป (ใช้สิทธิ์ได้เฉพาะวันหมดอายุ) พัฒนาโดย Fischer Black, Myron Scholes และ Robert Merton ในปี ค.ศ. 1973 ต่อมา Scholes และ Merton ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1997 (Fischer Black เสียชีวิตปี 1995 และรางวัลโนเบลไม่มอบให้ผู้ล่วงลับ แม้คณะกรรมการจะยกย่องผลงานของเขา) BSM เปลี่ยนโลกการเงินโดยให้สูตรปิด (closed-form) ที่คำนวณราคาออปชั่นได้ทันที

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ก่อน BSM การตั้งราคาออปชั่นอาศัยการเดาและประสบการณ์ BSM บอกว่า ถ้าเราเฮดจ์ออปชั่นด้วยสินทรัพย์อ้างอิงอย่างต่อเนื่องพอดี พอร์ตนั้นจะปราศจากความเสี่ยงและต้องให้ผลตอบแทนเท่าอัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง ข้อสรุปนี้นำไปสู่สมการที่แก้หาราคาออปชั่นได้

แนวคิดสำคัญอีกประการคือการตั้งราคาในโลก risk-neutral — เราสมมติให้นักลงทุนทุกคนไม่สนใจความเสี่ยง (risk-neutral) แล้วตั้งราคาสินทรัพย์เสมือนทุกอย่างโตในอัตรา $r$ ราคาออปชั่นที่ได้จากโลก risk-neutral นี้จะเหมือนกับโลกจริงเสมอ เพราะการใช้แนวคิด no-arbitrage ทำให้ preference ของนักลงทุนหลุดออกจากสมการ

ทฤษฎีและสูตร

สมมติฐานของ BSM

  1. ราคาสินทรัพย์เคลื่อนไหวตาม Geometric Brownian Motion (GBM): $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW_t$
  2. ความผันผวน $\sigma$ คงที่ตลอดอายุออปชั่น
  3. ไม่มีต้นทุนการซื้อขาย (transaction costs) และซื้อขายได้ต่อเนื่อง
  4. ไม่มีเงินปันผลระหว่างอายุออปชั่น (สูตรพื้นฐาน)
  5. อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง $r$ คงที่
  6. ไม่มีโอกาส arbitrage

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย BSM (BSM PDE) — หัวใจทางคณิตศาสตร์ ได้จากการเฮดจ์พอร์ตและนำ Itô's Lemma มาใช้

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

โดยที่ $V$ = ราคาออปชั่น · $S$ = ราคาสินทรัพย์ · $t$ = เวลา · $\sigma$ = ความผันผวน · $r$ = อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง เงื่อนไขขอบ (boundary condition) ที่ต่างกันสำหรับ call และ put ให้คำตอบที่ต่างกัน

ตัวแปรกลาง $d_1$ และ $d_2$

$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r + \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

โดยที่ $\ln(S_0/K)$ = ล็อกของอัตราส่วนราคาปัจจุบันต่อ strike · $\sigma^2/2$ = การปรับสำหรับความนูนของล็อก-ราคา · $\sigma\sqrt{T}$ = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนตลอด $T$ ปี

ราคา Call และ Put ตาม BSM

$$C = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$
$$P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0\,N(-d_1)$$

โดยที่ $N(\cdot)$ = ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (Cumulative Distribution Function of standard normal) เช่น $N(0) = 0.5$, $N(1.96) \approx 0.975$ · $N(d_2)$ มีความหมายในโลก risk-neutral ว่าเป็นความน่าจะเป็นที่ call จะ expire in-the-money

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: $S_0 = 100$, $K = 100$ (ATM), $r = 5\%$ ต่อปี, $\sigma = 20\%$ ต่อปี, $T = 1$ ปี จงหาราคา call ตาม BSM

ขั้นที่ 1: คำนวณ $d_1$ และ $d_2$

$$d_1 = \frac{\ln(100/100) + (0.05 + \tfrac{1}{2}(0.04))(1)}{0.20\sqrt{1}} = \frac{0 + 0.07}{0.20} = 0.35$$
$$d_2 = 0.35 - 0.20\sqrt{1} = 0.35 - 0.20 = 0.15$$

ขั้นที่ 2: หาค่า $N(d_1)$ และ $N(d_2)$ จากตาราง z หรือซอฟต์แวร์

$$N(0.35) \approx 0.6368, \qquad N(0.15) \approx 0.5596$$

ขั้นที่ 3: แทนค่าในสูตร

$$C = 100 \times 0.6368 - 100 \times e^{-0.05} \times 0.5596$$
$$C = 63.68 - 100 \times 0.9512 \times 0.5596 = 63.68 - 53.23 \approx 10.45 \text{ ดอลลาร์}$$

ราคา call ที่ยุติธรรมคือประมาณ 10.45 ดอลลาร์ ถ้าตลาดซื้อขายออปชั่นนี้ที่ราคาต่างออกไปมาก ย่อมมีโอกาส arbitrage ในทางทฤษฎี

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • Traders บน exchange ใช้ BSM เป็นฐานในการ quote ราคาออปชั่น โดยมักแสดงผลในรูป implied volatility (ค่า $\sigma$ ที่ทำให้ราคา BSM เท่ากับราคาตลาด) แทนตัวเลขราคาโดยตรง
  • Risk managers ใช้สูตร BSM เป็นฐานคำนวณค่ากรีก (delta, gamma, vega) เพื่อวัดและจัดการความเสี่ยงของพอร์ตออปชั่น
  • ข้อจำกัดในทางปฏิบัติ: BSM สมมติ $\sigma$ คงที่ แต่ในตลาดจริง implied vol เปลี่ยนตาม strike และ maturity เกิด volatility smile/skew ที่ BSM อธิบายไม่ได้ จึงต้องใช้แบบจำลองขั้นสูงกว่า เช่น Heston หรือ SABR
  • Corporate finance: BSM ยังนำไปใช้ตีมูลค่า real options (โอกาสการลงทุนของบริษัท) และ convertible bonds

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Geometric Brownian Motion (GBM)
แบบจำลองการเคลื่อนที่แบบสุ่มของราคาหุ้น สมมติว่าผลตอบแทนแบบ log เป็นการแจกแจงปกติและอิสระจากกัน
Risk-neutral valuation
แนวคิดที่ตั้งราคาสินทรัพย์เสมือนอยู่ในโลกที่นักลงทุนไม่สนใจความเสี่ยง ผลลัพธ์เหมือนโลกจริงเพราะหลัก no-arbitrage
Closed-form solution
สูตรที่คำนวณได้โดยตรงโดยไม่ต้องจำลองซ้ำ BSM เป็นหนึ่งในไม่กี่แบบจำลองที่มีคุณสมบัตินี้
$N(\cdot)$ (CDF of standard normal)
ฟังก์ชันบอกความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะน้อยกว่าค่าที่กำหนด เช่น $N(0)=0.5$
Implied volatility (IV)
ค่า $\sigma$ ที่แทนใน BSM แล้วได้ราคาเท่ากับราคาตลาด สะท้อนความคาดหวังของตลาดต่อความผันผวนในอนาคต
Volatility smile / skew
ปรากฏการณ์ที่ implied vol ไม่คงที่ตาม strike แสดงว่าตลาดไม่เชื่อสมมติฐาน BSM อย่างสมบูรณ์
European option
ออปชั่นที่ใช้สิทธิ์ได้เฉพาะวันหมดอายุ ต่างจาก American option ที่ใช้สิทธิ์ได้ทุกวัน BSM ใช้ได้กับ European option โดยตรง
PDE (Partial Differential Equation)
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย — สมการทางคณิตศาสตร์ที่บอกว่าราคาออปชั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาและราคาสินทรัพย์อย่างไร
Itô's Lemma
ทฤษฎีบทแคลคูลัสสำหรับกระบวนการสุ่ม ใช้ในการอนุมาน BSM PDE จาก GBM
M6

ค่ากรีก & การเฮดจ์

The Greeks & Hedging

นิยาม

ค่ากรีก (The Greeks) คือตัวเลขที่วัดความไวของราคาออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่างๆ ได้แก่ ราคาสินทรัพย์ เวลา ความผันผวน และอัตราดอกเบี้ย กรีกเป็นเครื่องมือหลักของ risk managers และ options traders ในการวัดและจัดการความเสี่ยงของพอร์ตออปชั่น

กรีกแต่ละตัวบอกว่า "ถ้าตัวแปรนั้นขยับหนึ่งหน่วยเล็กๆ ราคาออปชั่นจะเปลี่ยนเท่าไหร่" — เป็นอนุพันธ์ (derivative ในแง่แคลคูลัส) ของราคาออปชั่น

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

สมมติผู้อ่านถือพอร์ตออปชั่นมูลค่าหลายร้อยล้านบาท ถ้าตลาดขยับ 1% พรุ่งนี้ พอร์ตจะขาดทุนหรือกำไรเท่าไหร่? ค่ากรีกตอบคำถามนี้ได้ทันทีโดยไม่ต้องรอราคาตลาดจริง ทำให้ฝ่าย risk สามารถตรวจสอบและปรับพอร์ตก่อนที่ความเสี่ยงจะสะสมจนเกินควบคุม

สำคัญมาก: กรีกเป็นเครื่องมือวัดความเสี่ยงและจัดการพอร์ต ไม่ใช่สัญญาณบอกทิศทางราคาของสินทรัพย์อ้างอิง การนำกรีกไปใช้คาดการณ์ว่าหุ้นจะขึ้นหรือลงเป็นการเข้าใจผิดอย่างพื้นฐาน

ทฤษฎีและสูตร

ก่อนอื่น ฟังก์ชันความหนาแน่นของปกติมาตรฐาน (standard normal PDF) ที่ใช้ในสูตรกรีก

$$N'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$

เดลตา ($\Delta$) — ความไวต่อราคาสินทรัพย์

$$\Delta_{\text{call}} = N(d_1), \qquad \Delta_{\text{put}} = N(d_1) - 1$$

$\Delta$ บอกว่าราคาออปชั่นเปลี่ยนประมาณเท่าไหร่เมื่อ $S$ ขยับ 1 หน่วย เดลตาของ call อยู่ระหว่าง 0–1 ส่วน put อยู่ระหว่าง −1–0 ออปชั่น ATM มี $|\Delta| \approx 0.5$

แกมมา ($\Gamma$) — ความไวของเดลตาต่อราคาสินทรัพย์

$$\Gamma = \frac{N'(d_1)}{S\,\sigma\sqrt{T}}$$

$\Gamma$ คืออนุพันธ์อันดับสองของราคาออปชั่นต่อ $S$ บอกว่าเดลตาเปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อราคาขยับ แกมมาสูงหมายความว่าเดลตาเปลี่ยนเร็ว ต้องปรับ hedge position บ่อยกว่า

เวกา ($\mathcal{V}$) — ความไวต่อความผันผวน

$$\mathcal{V} = S\,N'(d_1)\sqrt{T}$$

$\mathcal{V}$ บอกว่าราคาออปชั่นเปลี่ยนเท่าไหร่เมื่อ $\sigma$ เพิ่มขึ้น 1% (หรือ 1 percentage point) เวกาเป็นบวกเสมอสำหรับทั้ง call และ put เพราะความผันผวนที่สูงกว่าทำให้ออปชั่นมีค่ามากกว่า

เธตา ($\Theta$) — ความไวต่อเวลา (time decay)

$\Theta$ คือมูลค่าที่ออปชั่นสูญเสียไปในแต่ละวัน มักเป็นค่าลบสำหรับผู้ถือออปชั่น เพราะเมื่อวันหมดอายุใกล้เข้ามา time value หดลง ออปชั่น ATM มีเธตาสูงสุดในเชิงสัมบูรณ์ สูตรเต็มมีความซับซ้อนจึงไม่นำเสนอที่นี่แต่แนวคิดสำคัญกว่า

โร ($\rho$) — ความไวต่ออัตราดอกเบี้ย

$\rho$ บอกว่าราคาออปชั่นเปลี่ยนเท่าไหร่เมื่อ $r$ เปลี่ยน 1 percentage point call มี $\rho > 0$ (ดอกเบี้ยสูงทำให้ต้นทุน carry สูงขึ้น ราคา call ขึ้น) put มี $\rho < 0$ โดยทั่วไปโรมีผลน้อยกว่ากรีกตัวอื่น

Delta Hedging และ Dynamic Hedging

Delta hedging คือการสร้างพอร์ตที่ delta-neutral โดยการถือสินทรัพย์อ้างอิง $\Delta$ หน่วยต่อออปชั่น 1 ตัว เพื่อหักล้างความเสี่ยงต่อทิศทางราคา (directional risk) ตัวอย่าง: ถ้า short call ที่มี $\Delta = 0.6$ ต้องซื้อหุ้นอ้างอิง 0.6 หน่วยต่อ call 1 ตัวเพื่อทำ delta-neutral

แต่เนื่องจาก $\Delta$ เปลี่ยนตามราคา (วัดโดยแกมมา) พอร์ตที่ delta-neutral วันนี้อาจไม่ neutral พรุ่งนี้ จึงต้องปรับอย่างต่อเนื่อง — เรียกว่า dynamic hedging แกมมาสูง = ต้องปรับบ่อย = ต้นทุน rebalancing สูง

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

จากตัวอย่าง M5: $S_0 = 100$, $K = 100$, $r = 5\%$, $\sigma = 20\%$, $T = 1$, $d_1 = 0.35$, $d_2 = 0.15$

เดลตาของ call:

$$\Delta_{\text{call}} = N(d_1) = N(0.35) \approx 0.6368$$

หมายความว่า ถ้าราคาหุ้นขยับขึ้น 1 บาท ราคา call จะขึ้นประมาณ 0.64 บาท ในทันที และถ้าเราถือ short call 100 ตัว ต้องซื้อหุ้น $100 \times 0.6368 \approx 64$ หน่วย เพื่อ delta-neutral

แกมมา: คำนวณ $N'(d_1) = N'(0.35)$

$$N'(0.35) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-0.35^2/2} = \frac{1}{2.5066}\,e^{-0.06125} \approx 0.3989 \times 0.9406 \approx 0.3752$$
$$\Gamma = \frac{0.3752}{100 \times 0.20 \times 1} = \frac{0.3752}{20} \approx 0.0188$$

หมายความว่า ทุกครั้งที่ราคาหุ้นขยับ 1 บาท เดลตาจะเปลี่ยนประมาณ 0.019 ถ้าราคาขึ้น 5 บาท เดลตาอาจเพิ่มจาก 0.64 เป็นประมาณ 0.73

เวกา:

$$\mathcal{V} = 100 \times 0.3752 \times \sqrt{1} = 37.52$$

หมายความว่า ถ้า implied volatility ขึ้น 1% (จาก 20% เป็น 21%) ราคา call จะขึ้นประมาณ 0.3752 ดอลลาร์

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • กรีกใช้วัดและจัดการความเสี่ยงของพอร์ต ไม่ใช่สัญญาณบอกทิศราคา — ฝ่าย risk ของธนาคารตรวจสอบ "Greek limits" ทุกวันเพื่อให้แน่ใจว่าพอร์ตไม่รับความเสี่ยงเกินที่กำหนด
  • Delta limits: เทรดเดอร์มักถูกกำหนดวงเงิน delta สูงสุด เพื่อจำกัดความเสี่ยงทิศทาง
  • Vega risk: ในช่วงตลาดผันผวนสูง (เช่น วิกฤต) implied vol พุ่งขึ้น พอร์ตที่มี vega สูงจะขาดทุนหนักหรือกำไรมากขึ้นอยู่กับทิศทาง ฝ่าย risk จึงวัด vega exposure เสมอ
  • Gamma scalping: กลยุทธ์ที่ market makers ใช้ — ถือ long gamma position และ rebalance delta บ่อยๆ เพื่อทำกำไรจากการขยับของราคา (โดยจ่ายค่า time decay เป็นต้นทุน)
  • Theta decay ใน options selling: ผู้ขายออปชั่นได้รับประโยชน์จาก theta (time value หดลงทุกวัน) แต่ต้องแลกกับความเสี่ยงจาก delta และ gamma

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Delta ($\Delta$)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคาออปชั่นต่อราคาสินทรัพย์อ้างอิง ใช้ในการ delta hedge
Gamma ($\Gamma$)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ delta ต่อราคาสินทรัพย์ วัดความโค้ง (convexity) ของพอร์ต
Vega ($\mathcal{V}$)
ความไวของราคาออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงของ implied volatility
Theta ($\Theta$)
มูลค่าที่สูญเสียไปต่อวัน เรียกว่า "time decay" มักเป็นค่าลบสำหรับผู้ถือออปชั่น
Rho ($\rho$)
ความไวของราคาออปชั่นต่ออัตราดอกเบี้ย โดยทั่วไปมีผลน้อยกว่ากรีกตัวอื่น
Delta-neutral
พอร์ตที่มี delta รวมเท่ากับ (หรือใกล้) ศูนย์ ไม่เสี่ยงต่อทิศทางราคาทันที
Dynamic hedging
การปรับ hedge position อย่างต่อเนื่องตามที่ delta เปลี่ยน ในทางทฤษฎี BSM สมมติว่าทำได้อย่างต่อเนื่องไม่มีต้นทุน
Gamma risk
ความเสี่ยงที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของ delta เมื่อราคาขยับ ทำให้ delta hedge ที่ตั้งไว้ไม่ neutral อีกต่อไป
Gamma scalping
กลยุทธ์ที่ผู้ถือ long gamma rebalance delta บ่อยๆ เพื่อทำกำไรจากความผันผวน แลกกับ theta decay
Greek limits
วงเงินความเสี่ยงที่กำหนดให้เทรดเดอร์/พอร์ต ทำหน้าที่เหมือน stop-loss แต่วัดในมิติความเสี่ยงแทนมูลค่า

📝 บททดสอบกลุ่ม 2 · อนุพันธ์ & การตั้งราคา

เลือกคำตอบ ระบบเฉลยพร้อมคำอธิบายทันที

1. หุ้น A ราคา $S_0 = 50$ บาท อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง $r = 8\%$ ต่อปี ไม่มีเงินปันผล สัญญาฟอร์เวิร์ด 6 เดือน ($T = 0.5$) ราคายุติธรรมคือเท่าไหร่?

เฉลย: B — ใช้สูตร $F_0 = S_0 e^{rT} = 50 \times e^{0.08 \times 0.5} = 50 \times e^{0.04} = 50 \times 1.04081 \approx 52.04$ บาท ตัวเลือก A (52.00) ใกล้เคียงแต่คำนวณด้วยดอกเบี้ยแบบไม่ต่อเนื่อง ($50 \times 1.04$) ซึ่งไม่ใช่สูตรฟอร์เวิร์ดมาตรฐาน

2. Put-Call Parity ระบุว่า $C + Ke^{-rT} = P + S_0$ ถ้า call ราคา 8 บาท, $K = 100$, $r = 5\%$, $T = 1$ ปี, $S_0 = 98$ บาท ราคา put ที่ยุติธรรมคือเท่าใด (ใช้ $e^{-0.05} \approx 0.9512$)?

เฉลย: C — จาก Put-Call Parity: $P = C + Ke^{-rT} - S_0 = 8 + 100 \times 0.9512 - 98 = 8 + 95.12 - 98 = 5.12$ บาท ถ้า put ในตลาดซื้อขายที่ราคาอื่น จะเกิด arbitrage โดยทำ portfolio สังเคราะห์

3. ในสูตร BSM ค่า $N(d_2)$ มีความหมายเชิงความน่าจะเป็นว่าอย่างไร?

เฉลย: A — $N(d_2)$ คือความน่าจะเป็นในโลก risk-neutral ที่ $S_T > K$ ณ วันหมดอายุ ส่วน $N(d_1)$ คือเดลตา (ตัวเลือก B) ซึ่งใหญ่กว่า $N(d_2)$ เสมอเพราะปรับสำหรับความนูน ทั้งสองต่างกันเพราะ $d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}$

4. ผู้อ่านถือ short call 200 ตัว โดย call แต่ละตัวมี delta $= 0.70$ เพื่อทำ delta hedge ต้องซื้อหุ้นอ้างอิงกี่หน่วย?

เฉลย: D — delta ของพอร์ต short call = $-200 \times 0.70 = -140$ เพื่อให้ delta รวมเป็น 0 ต้องซื้อหุ้น 140 หน่วย (delta = +140) ซื้อมากกว่าหรือน้อยกว่านี้จะทำให้พอร์ตมีทิศทาง (directional bias)

5. ข้อใดอธิบายความหมายของ "gamma risk" ได้ถูกต้องที่สุด?

เฉลย: B — gamma วัดการเปลี่ยนของ delta ดังนั้น gamma risk คือความเสี่ยงที่เกิดจาก delta ไม่คงที่ พอร์ตที่ delta-neutral วันนี้อาจไม่ neutral พรุ่งนี้ถ้าราคาขยับและ gamma สูง ทำให้ต้อง rebalance บ่อย ส่วนตัวเลือก A คือ vega risk, C คือ theta risk, D คือ rho risk
กลุ่ม 3

พอร์ต ดอกเบี้ย ความเสี่ยง

จากตราสารหนี้และเส้นดอกเบี้ย สู่การประกอบพอร์ตที่ดีที่สุด และการวัดว่าพอร์ตเสี่ยงแค่ไหน

M7

ตราสารหนี้ + แบบจำลองดอกเบี้ย

Fixed Income & Interest Rate Models

นิยาม

ตราสารหนี้ (Fixed Income) คือสัญญาที่ผู้ออก (รัฐบาล บริษัท) สัญญาจะจ่ายคูปอง ($C$) ตามงวดและคืนเงินต้น (Face Value $F$) เมื่อครบอายุ ราคาของตราสารหนี้ในตลาดถูกกำหนดโดย Yield to Maturity (YTM) ซึ่งคืออัตราคิดลดที่ทำให้กระแสเงินสดในอนาคตมีมูลค่าปัจจุบันเท่ากับราคาตลาด

Duration วัดความอ่อนไหวของราคาพันธบัตรต่อการเปลี่ยนแปลงของ yield — ยิ่ง duration สูง ราคายิ่งเคลื่อนมากเมื่อ yield เปลี่ยน Convexity คือการแก้ไขที่สอง เพราะความสัมพันธ์ราคา-yield โค้งไม่ใช่เส้นตรง

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ราคาพันธบัตรและ yield เคลื่อนไหวผกผันเสมอ: ถ้า yield ในตลาดสูงขึ้น นักลงทุนจะยินดีจ่ายน้อยลงสำหรับคูปองเดิม ดังนั้นราคาตก ผู้จัดการพอร์ตตราสารหนี้ใช้ duration เพื่อป้องกันความเสี่ยงดอกเบี้ย (interest rate hedging) — ถ้าต้องการพอร์ตที่ราคาไม่แกว่งเมื่อ yield เปลี่ยน ให้ปรับ duration ของสินทรัพย์ให้เท่ากับ duration ของหนี้สิน

Term Structure (Yield Curve) แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง yield กับอายุตราสาร โดยปกติเส้นโค้งชันขึ้น (long-term yield สูงกว่า short-term) แต่เมื่อใดก็ตามที่เส้นโค้งกลับหัว (inverted) มักถูกตีความว่าตลาดคาดว่าเศรษฐกิจจะชะลอตัว

ทฤษฎีและสูตร

ราคาพันธบัตร — กระแสเงินสดทุกงวดคิดลดด้วย YTM ($y$):

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+y)^t}+\frac{F}{(1+y)^n}$$

โดยที่ $P$ = ราคาพันธบัตร · $C$ = คูปองต่องวด · $F$ = มูลค่าหน้าตั๋ว · $n$ = จำนวนงวดทั้งหมด · $y$ = YTM ต่องวด

Macaulay Duration — ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของเวลาที่รับกระแสเงินสด:

$$D=\frac{1}{P}\sum_{t=1}^{n} t\cdot\frac{CF_t}{(1+y)^t}$$

โดยที่ $CF_t$ = กระแสเงินสด ณ งวด $t$ (คูปองหรือคูปอง+เงินต้น) · น้ำหนักแต่ละงวด = มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด ÷ ราคาพันธบัตร

Modified Duration และการประมาณการเปลี่ยนแปลงราคา:

$$D_{\text{mod}}=\frac{D}{1+y},\qquad \frac{\Delta P}{P}\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y$$

ความสัมพันธ์เชิงเส้นนี้ใช้ได้ดีสำหรับการเปลี่ยนแปลง yield เล็กน้อย สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ต้องเพิ่มconvexity correction: $\frac{\Delta P}{P}\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y + \frac{1}{2}\,\text{Convexity}\,(\Delta y)^2$

แบบจำลอง Vasicek — แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (short rate model):

$$dr_t=a(b-r_t)\,dt+\sigma\,dW_t$$

โดยที่ $r_t$ = อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ณ เวลา $t$ · $a$ = ความเร็วของ mean reversion (ยิ่งสูงยิ่งดึงกลับเร็ว) · $b$ = อัตราดอกเบี้ยสมดุลระยะยาว · $\sigma$ = ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย · $dW_t$ = การเคลื่อนไหวของ Brownian motion

คุณสมบัติสำคัญ: mean reversion — ถ้า $r_t > b$ แรงดึงจะเป็นลบดึง $r_t$ ลงสู่ $b$ ถ้า $r_t < b$ แรงดึงจะเป็นบวก ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยไม่วิ่งออกไปไกลเหมือน geometric Brownian motion ของราคาหุ้น

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

พันธบัตรอายุ 3 ปี มูลค่าหน้าตั๋ว $F=1{,}000$ บาท คูปองปีละ $C=50$ บาท YTM $y=5\%$ ต่อปี

ราคา: $P=\dfrac{50}{1.05}+\dfrac{50}{1.05^2}+\dfrac{50+1000}{1.05^3}=47.62+45.35+907.03\approx 1{,}000$ บาท (ราคาเท่า par เพราะ coupon rate = YTM)

Modified Duration: สมมติ Macaulay Duration $D=2.86$ ปี → $D_{\text{mod}}=\dfrac{2.86}{1.05}\approx 2.72$ ปี

ถ้า yield เพิ่ม $\Delta y=+1\%$:

$$\frac{\Delta P}{P}\approx -2.72\times 0.01 = -2.72\%$$

ราคาจะลดลงประมาณ $2.72\%$ หรือ $\approx 27.2$ บาท — ยิ่งอายุพันธบัตรยาว duration ยิ่งสูง ราคายิ่งไวต่อ yield

ตัวอย่างที่สั้นกว่า: พันธบัตรที่มี $D_{\text{mod}}=4$ เมื่อ yield เพิ่ม $+1\%$ → ราคาลดประมาณ $4\times 1\%=4\%$

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • กองทุนบำเหน็จบำนาญ (Pension Fund): ใช้ duration matching จับคู่ duration สินทรัพย์ (พันธบัตร) ให้เท่ากับ duration หนี้สิน (ภาระจ่ายในอนาคต) เพื่อให้ surplus ไม่แกว่งตาม yield
  • ธนาคาร: Asset-Liability Management (ALM) ใช้ duration gap วัดว่าฝั่งสินทรัพย์และหนี้สินไม่สมดุลกันแค่ไหน ถ้า gap สูง กำไรธนาคารจะผันผวนมากตามดอกเบี้ย
  • นักลงทุนในตลาดหุ้น: เมื่อ Fed ขึ้นดอกเบี้ย → yield พันธบัตรสูงขึ้น → ราคาหุ้น growth (ที่กระแสเงินสดอยู่ไกล) มักถูกกระทบมากกว่าหุ้น value เหตุผลเดียวกับ duration
  • แบบจำลอง Vasicek: ใช้ใน derivatives pricing บนอัตราดอกเบี้ย (เช่น interest rate swap, cap/floor) และในการสร้างเส้น yield curve เชิง theoretical

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Yield to Maturity (YTM)
อัตราผลตอบแทนรวมหากถือพันธบัตรจนครบอายุ คืออัตราคิดลดที่ทำให้ PV ของกระแสเงินสดเท่ากับราคาตลาด
Coupon Rate
อัตราดอกเบี้ยที่ระบุบนหน้าตั๋ว คำนวณจากมูลค่าหน้าตั๋ว ไม่ใช่ราคาตลาด
Macaulay Duration
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของเวลา มีหน่วยเป็นปี
Modified Duration
ความอ่อนไหวของราคา (%ΔP ต่อ Δy 1 หน่วย)
Convexity
อนุพันธ์อันดับสองของราคาต่อ yield — แก้ความโค้งที่ duration (เชิงเส้น) มองข้าม
Term Structure
ความสัมพันธ์ระหว่าง yield กับอายุตราสาร ณ เวลาหนึ่ง
Inverted Yield Curve
เส้นโค้งที่ short-term yield สูงกว่า long-term มักสัมพันธ์กับการคาดการณ์เศรษฐกิจถดถอย
Mean Reversion
คุณสมบัติที่ตัวแปร (เช่น ดอกเบี้ย) มีแนวโน้มดึงกลับสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาว
Short Rate Model
แบบจำลองที่อธิบายพฤติกรรมของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น แล้วสร้าง yield curve ทั้งเส้น
Duration Matching
กลยุทธ์จับ duration สินทรัพย์เท่ากับ duration หนี้สิน เพื่อ immunize พอร์ตจากความเสี่ยงดอกเบี้ย
M8

ทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอ

Portfolio Theory

นิยาม

ทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอสมัยใหม่ (Modern Portfolio Theory) ถามว่า: จะผสมสินทรัพย์หลายชนิดอย่างไรให้ได้ผลตอบแทนสูงสุดสำหรับความเสี่ยงระดับหนึ่ง? คำตอบคือ mean-variance optimization — เลือกน้ำหนัก $w_i$ เพื่อ maximize ผลตอบแทนคาดหวัง หรือ minimize variance สำหรับผลตอบแทนเป้าหมายที่กำหนด

CAPM (Capital Asset Pricing Model) ขยายทฤษฎีพอร์ตสู่การกำหนดราคาสินทรัพย์ โดยกล่าวว่าผลตอบแทนที่คาดหวังของสินทรัพย์ใดๆ ขึ้นอยู่กับ beta — ความเสี่ยงเชิงระบบที่กำจัดไม่ได้ด้วยการกระจาย

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

ความเสี่ยงของพอร์ตไม่ใช่ค่าเฉลี่ยความเสี่ยงของสินทรัพย์แต่ละตัว เพราะสินทรัพย์เคลื่อนไหวไม่พร้อมกันเสมอ เมื่อ correlation < 1 การผสมสินทรัพย์จะลดความเสี่ยงรวมได้โดยไม่ต้องลดผลตอบแทน — นี่คือ "มื้ออาหารฟรีเดียว" ในการเงิน

ประโยชน์สูงสุดจากการกระจายเกิดเมื่อ correlation ต่ำหรือติดลบ ในทางปฏิบัติในช่วงวิกฤต correlation ระหว่างสินทรัพย์มักกระโดดสูงขึ้นพร้อมกัน ทำให้ประโยชน์จากการกระจายลดลงพอดีตอนที่ต้องการมากที่สุด

ทฤษฎีและสูตร

ผลตอบแทนคาดหวังของพอร์ต — ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

$$E[R_p]=\sum_i w_i\,E[R_i]$$

โดยที่ $w_i$ = น้ำหนักของสินทรัพย์ $i$ ในพอร์ต (ผลรวม $\sum_i w_i = 1$) · $E[R_i]$ = ผลตอบแทนคาดหวังของสินทรัพย์ $i$

ความแปรปรวนของพอร์ตสองสินทรัพย์ (แสดงให้เห็นผลของ correlation):

$$\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1 w_2\,\rho_{12}\,\sigma_1\sigma_2$$

เมื่อ $\rho_{12}=1$ → $\sigma_p = w_1\sigma_1+w_2\sigma_2$ (ไม่มีประโยชน์จากการกระจาย) เมื่อ $\rho_{12}=-1$ → $\sigma_p$ สามารถลดเป็น $0$ ได้

อัตราส่วนชาร์ป (Sharpe Ratio) — วัดผลตอบแทนส่วนเกินต่อหน่วยความเสี่ยง:

$$S=\frac{E[R_p]-R_f}{\sigma_p}$$

โดยที่ $R_f$ = อัตราผลตอบแทนไร้ความเสี่ยง · $\sigma_p$ = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนพอร์ต · พอร์ตที่ optimal (Tangency Portfolio บน efficient frontier) จะมี Sharpe ratio สูงที่สุด

CAPM — กำหนดผลตอบแทนที่ต้องการของสินทรัพย์ตามความเสี่ยงเชิงระบบ:

$$E[R_i]=R_f+\beta_i\big(E[R_m]-R_f\big),\qquad \beta_i=\frac{\mathrm{Cov}(R_i,R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

โดยที่ $E[R_m]$ = ผลตอบแทนคาดหวังของตลาด · $E[R_m]-R_f$ = market risk premium (รางวัลสำหรับการรับความเสี่ยงตลาด) · $\beta_i$ = ความไวของสินทรัพย์ต่อการเคลื่อนไหวของตลาด ($\beta=1$ เคลื่อนตามตลาด, $\beta>1$ เคลื่อนมากกว่า, $\beta<1$ เคลื่อนน้อยกว่า)

Security Market Line (SML) — เส้นกราฟที่แสดง CAPM: แกน X คือ $\beta$, แกน Y คือ $E[R]$ สินทรัพย์ที่ราคา "ถูก" เกินจริงจะอยู่เหนือเส้น (ให้ผลตอบแทนสูงกว่าที่ควร) สินทรัพย์ที่ "แพง" เกินจริงจะอยู่ใต้เส้น

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

CAPM: หุ้น A มี $\beta=1.2$, อัตราไร้ความเสี่ยง $R_f=2\%$, ผลตอบแทนตลาดคาดหวัง $E[R_m]=8\%$

$$E[R_A]=2\%+1.2\times(8\%-2\%)=2\%+1.2\times 6\%=2\%+7.2\%=9.2\%$$

ผู้อ่านควรต้องการผลตอบแทน $9.2\%$ ต่อปีจากหุ้นนี้เพื่อชดเชยความเสี่ยงที่ $20\%$ สูงกว่าตลาด

Sharpe Ratio: พอร์ต A: $E[R_p]=10\%$, $\sigma_p=12\%$, $R_f=2\%$ → $S_A=\dfrac{10\%-2\%}{12\%}=0.67$

พอร์ต B: $E[R_p]=12\%$, $\sigma_p=18\%$ → $S_B=\dfrac{12\%-2\%}{18\%}=0.56$ — แม้พอร์ต B ผลตอบแทนสูงกว่า แต่ พอร์ต A คุ้มค่าความเสี่ยงมากกว่า

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • การจัดพอร์ตกองทุน: กองทุนรวมใช้ efficient frontier ช่วยตัดสินใจ asset allocation — ผสมหุ้น พันธบัตร อสังหา เพื่อให้ Sharpe ratio สูงสุด
  • การประเมินผลกองทุน: Sharpe ratio เป็นตัวชี้วัดมาตรฐาน เปรียบเทียบผลงานผู้จัดการกองทุนโดยปรับความเสี่ยง ไม่ใช่แค่ดูผลตอบแทนดิบ
  • ต้นทุนทุน (Cost of Equity): บริษัทใช้ CAPM กำหนด discount rate ในการ value โครงการลงทุน — $\beta$ ของบริษัทสะท้อนความเสี่ยงธุรกิจและความเสี่ยงทางการเงิน
  • ข้อจำกัด: CAPM มีสมมติฐานที่เข้มงวด (ตลาดสมบูรณ์ ไม่มีภาษี นักลงทุนมี expectations เดียวกัน) ในทางปฏิบัติโมเดล multi-factor (เช่น Fama-French 3 factors) อธิบายผลตอบแทนได้ดีกว่า

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Mean-Variance Optimization
กระบวนการหาน้ำหนักพอร์ตที่ maximize E[R] สำหรับ variance ที่กำหนด หรือ minimize variance สำหรับ E[R] ที่กำหนด
Efficient Frontier
เส้นโค้งในกราฟ (ความเสี่ยง, ผลตอบแทน) ที่รวบรวมพอร์ตที่ efficient ที่สุด ไม่มีพอร์ตอื่นที่ให้ผลตอบแทนสูงกว่าสำหรับความเสี่ยงเดียวกัน
Tangency Portfolio
พอร์ตบน efficient frontier ที่มี Sharpe ratio สูงสุด คือจุดสัมผัสระหว่าง efficient frontier กับ Capital Market Line
Capital Market Line (CML)
เส้นตรงในกราฟ (σ, E[R]) ที่ลากจาก risk-free asset ผ่าน tangency portfolio แสดงชุดพอร์ตที่ optimal สำหรับนักลงทุนที่ผสม risk-free กับ risky asset
Beta (β)
ความไวของผลตอบแทนสินทรัพย์ต่อผลตอบแทนตลาด วัดความเสี่ยงเชิงระบบ
Systematic Risk
ความเสี่ยงที่กระทบทุกสินทรัพย์พร้อมกัน กำจัดด้วยการกระจายไม่ได้ ตลาดให้ "รางวัล" สำหรับความเสี่ยงนี้
Idiosyncratic Risk
ความเสี่ยงเฉพาะบริษัท กำจัดได้ด้วยการกระจายความเสี่ยง ตลาดไม่ให้ผลตอบแทนพิเศษสำหรับความเสี่ยงนี้
Market Risk Premium
$E[R_m]-R_f$ — ผลตอบแทนส่วนเกินที่ตลาดจ่ายให้สำหรับการรับความเสี่ยงตลาด (ประมาณ 5-7% ในระยะยาวสำหรับตลาดพัฒนาแล้ว)
Sharpe Ratio
ผลตอบแทนส่วนเกินต่อหน่วยความเสี่ยงรวม ใช้เปรียบเทียบประสิทธิภาพพอร์ตที่ปรับความเสี่ยงแล้ว
Correlation (ρ)
ค่าระหว่าง -1 ถึง +1 วัดความสัมพันธ์เชิงทิศทางระหว่างผลตอบแทนสินทรัพย์สองตัว ยิ่งต่ำยิ่งได้ประโยชน์จากการกระจายมาก
M9

การจัดการความเสี่ยง

Risk Management

นิยาม

Value at Risk (VaR) ตอบคำถามว่า "ผู้อ่านอาจขาดทุนสูงสุดเท่าไหร่ในช่วงเวลา $T$ ด้วยความเชื่อมั่น $\alpha\%$?" เช่น VaR รายวันที่ 99% = 1,000,000 บาท หมายความว่ามีโอกาสเพียง 1% ที่จะขาดทุนเกิน 1,000,000 บาทใน 1 วัน

Expected Shortfall (ES) หรือ CVaR ตอบคำถามต่อว่า "ถ้าขาดทุนเกิน VaR จริงๆ จะขาดทุนเฉลี่ยเท่าไหร่?" ES จับความรุนแรงของหาง ไม่ใช่แค่โอกาส

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

พอร์ตเดียวกันที่มี VaR เท่ากันอาจมีความเสี่ยงต่างกันมากในสถานการณ์สุดขีด — VaR บอกแค่ "จุดตัด" แต่ไม่บอกว่าหากเกินจุดนั้นแล้วเลวร้ายแค่ไหน นี่คือเหตุผลที่หน่วยงานกำกับดูแลหลังปี 2008 (Basel III) หันมาใช้ ES เป็นตัวชี้วัดหลัก แทน VaR

วิกฤตปี 2008 แสดงให้เห็นว่าโมเดล VaR ที่ถือว่าผลตอบแทนกระจายแบบ Normal ประเมินความเสี่ยงต่ำเกินจริง เพราะผลตอบแทนจริงมี "หางอ้วน" (fat tail) — เหตุการณ์รุนแรงเกิดบ่อยกว่าที่โมเดลทำนาย

ทฤษฎีและสูตร

Parametric VaR (วิธีที่ 1 — สมมติการแจกแจงปกติ):

$$\mathrm{VaR}_\alpha = z_\alpha\,\sigma\,V$$

โดยที่ $z_\alpha$ = quantile ของ Normal distribution ($z_{95\%}=1.645$, $z_{99\%}=2.33$) · $\sigma$ = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนในช่วงเวลาที่ต้องการ · $V$ = มูลค่าพอร์ต · (กรณีช่วงเวลายาวหรือมี drift มีนัย อาจหัก $\mu T$ ออกจาก VaR)

Expected Shortfall:

$$\mathrm{ES}_\alpha=E[\,L \mid L>\mathrm{VaR}_\alpha\,]$$

สำหรับกรณี Normal: $\mathrm{ES}_\alpha = \dfrac{\phi(z_\alpha)}{1-\alpha}\,\sigma\,V$ โดย $\phi(\cdot)$ คือ PDF ของ Standard Normal · ES มีคุณสมบัติ subadditivity ($\mathrm{ES}(A+B)\leq\mathrm{ES}(A)+\mathrm{ES}(B)$) ทำให้เป็น coherent risk measure ในทางทฤษฎี

สามวิธีหลักในการคำนวณ VaR:

  1. Parametric (Variance-Covariance): สมมติการแจกแจงปกติ คำนวณเร็ว แต่ผิดพลาดเมื่อผลตอบแทนไม่ Normal (fat tail)
  2. Historical Simulation: ใช้ข้อมูลจริงในอดีต เรียงผลตอบแทนจากน้อยไปมาก หา percentile ที่ต้องการ ไม่ต้องสมมติการแจกแจง แต่ถือว่าอดีต = อนาคต และต้องการข้อมูลมาก
  3. Monte Carlo Simulation: จำลองผลตอบแทนหลายหมื่นหลายแสนครั้งด้วยโมเดล stochastic หา percentile จาก distribution ที่ได้ ยืดหยุ่นที่สุด แต่ใช้คอมพิวเตอร์มากและผลลัพธ์ขึ้นกับโมเดลที่ใช้

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

Parametric VaR: พอร์ตมูลค่า $V=1{,}000{,}000$ บาท มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานผลตอบแทนรายวัน $\sigma=2\%$

VaR รายวันที่ระดับความเชื่อมั่น $99\%$:

$$\mathrm{VaR}_{99\%}=2.33\times 0.02\times 1{,}000{,}000=46{,}600 \text{ บาท}$$

ความหมาย: มีโอกาสเพียง $1\%$ (ประมาณ 2-3 วันต่อปี) ที่พอร์ตจะขาดทุนเกิน $46{,}600$ บาทในหนึ่งวัน

VaR รายวันที่ $95\%$: $\mathrm{VaR}_{95\%}=1.645\times 0.02\times 1{,}000{,}000=32{,}900$ บาท

การปรับสเกลเวลา (Square Root of Time Rule): VaR รายสัปดาห์ (5 วันทำการ) ≈ $\mathrm{VaR}_{\text{daily}}\times\sqrt{5}=46{,}600\times 2.236\approx 104{,}200$ บาท (ใช้ได้เมื่อสมมติว่าผลตอบแทนแต่ละวันเป็นอิสระจากกัน)

🎯 เชื่อมกับงานจริง

  • VaR = เครื่องมือวัดและคุมขนาดความเสี่ยง ไม่ใช่การทำนายราคา: ธนาคารและกองทุนใช้ VaR กำหนด position size limit — ถ้า VaR พอร์ตเกินเพดานที่คณะกรรมการอนุมัติ ต้องลดขนาด position ลง ไม่ใช่ใช้ VaR เพื่อทำนายว่าราคาจะไปทางใด
  • Regulatory Capital: ธนาคารพาณิชย์ต้องถือทุนสำรองตาม Basel framework โดยคำนวณจาก VaR/ES ของพอร์ต — ยิ่งพอร์ตเสี่ยงมากยิ่งต้องถือทุนมาก
  • ข้อจำกัดที่สำคัญ:
    • VaR ไม่ subadditive เสมอ (ในกรณี non-Normal) ทำให้รวมความเสี่ยงของพอร์ตย่อยได้ไม่ถูกต้อง
    • VaR มองไม่เห็นความรุนแรงเกินจุดตัด — พอร์ตที่ขาดทุน 47,000 บาทเมื่อ VaR ถูกเจาะ กับพอร์ตที่ขาดทุน 5,000,000 บาท มี VaR เท่ากัน
    • พึ่งสมมติฐานการแจกแจง — ถ้าตลาดมี fat tail โมเดล Normal ประเมินความเสี่ยงต่ำเกินจริง
  • บทเรียนปี 2008: โมเดล VaR ของสถาบันการเงินหลายแห่งสร้างบน data ช่วงตลาดขาขึ้น correlation ต่ำ ทำให้ประเมินความเสี่ยงต่ำมาก เมื่อวิกฤตเกิด correlation กระโดดสูง การสูญเสียเกิน VaR หลายสิบเท่า — สรุปคือโมเดลความเสี่ยงต้องทดสอบในสถานการณ์วิกฤต (stress testing) ไม่ใช่แค่ภาวะปกติ

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Value at Risk (VaR)
ขาดทุนสูงสุดที่จะไม่เกินในช่วงเวลา $T$ ด้วยความเชื่อมั่น $\alpha\%$ ภายใต้สภาวะตลาดปกติ
Expected Shortfall (ES / CVaR)
ขาดทุนเฉลี่ยเมื่อเกิด tail event (ขาดทุนเกิน VaR) วัดความรุนแรงไม่ใช่แค่โอกาส
Coherent Risk Measure
การวัดความเสี่ยงที่มีคุณสมบัติครบ 4 ข้อ (monotonicity, subadditivity, positive homogeneity, translation invariance) — ES เป็น coherent, VaR ไม่เป็นเสมอไป
Fat Tail
การแจกแจงที่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์สุดขีดสูงกว่า Normal distribution — ผลตอบแทนสินทรัพย์จริงมักมีลักษณะนี้
Parametric VaR
VaR ที่คำนวณโดยสมมติการแจกแจงปกติ ใช้ mean และ standard deviation
Historical Simulation
วิธีคำนวณ VaR โดยใช้ผลตอบแทนจริงในอดีต ไม่สมมติการแจกแจง
Monte Carlo Simulation
วิธีคำนวณ VaR โดยสุ่มสถานการณ์จากโมเดล stochastic จำนวนมากแล้วหา distribution ของผลขาดทุน
Stress Testing
การทดสอบพอร์ตภายใต้สถานการณ์สุดขีดที่กำหนดขึ้น เช่น ตลาดหุ้นร่วง 30% พร้อมกับ yield สูงขึ้น 2%
Position Sizing
การกำหนดขนาด position โดยอ้างอิงจาก VaR/ES เพื่อให้ความเสี่ยงอยู่ในขอบเขตที่ยอมรับได้
Square Root of Time Rule
หลักการปรับ VaR จากช่วงเวลา 1 วัน เป็น $T$ วัน โดยคูณด้วย $\sqrt{T}$ ใช้ได้เมื่อผลตอบแทนแต่ละวันเป็นอิสระจากกัน

📝 บททดสอบกลุ่ม 3 · พอร์ต ดอกเบี้ย ความเสี่ยง

เลือกคำตอบ ระบบเฉลยพร้อมคำอธิบายทันที

1. พันธบัตรมี Modified Duration = 5 ปี ถ้า YTM เพิ่มขึ้น 0.5% ราคาพันธบัตรจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรโดยประมาณ?

เฉลย: C — ใช้สูตร $\Delta P / P \approx -D_{\text{mod}} \times \Delta y = -5 \times 0.5\% = -2.5\%$ ราคาและ yield เคลื่อนผกผัน เมื่อ yield ขึ้น ราคาลง Modified Duration คือความอ่อนไหวเชิงเส้น

2. แบบจำลอง Vasicek ใช้หลัก mean reversion ซึ่งหมายความว่าอะไร?

เฉลย: B — พจน์ $a(b - r_t)$ ใน Vasicek คือแรงดึงกลับ เมื่อ $r_t > b$ แรงดึงเป็นลบ เมื่อ $r_t < b$ แรงดึงเป็นบวก ทำให้อัตราดอกเบี้ยโคจรรอบค่าสมดุล $b$ ต่างจาก GBM ที่ใช้กับราคาหุ้น

3. ทำไมการผสมสินทรัพย์ที่มี correlation ต่ำจึงลดความเสี่ยงพอร์ตได้ โดยไม่จำเป็นต้องลดผลตอบแทน?

เฉลย: A — สูตร $\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$ แสดงว่าเมื่อ $\rho_{12} < 1$ ความแปรปรวนรวมต่ำกว่า weighted average ความเสี่ยงแต่ละตัว นี่คือ "มื้ออาหารฟรี" ของการเงิน

4. หุ้น X มี beta = 0.6 หมายความว่าอย่างไร?

เฉลย: D — Beta วัดความไวต่อตลาด $\beta = \mathrm{Cov}(R_i, R_m)/\mathrm{Var}(R_m)$ หุ้น beta < 1 เคลื่อนน้อยกว่าตลาด (defensive) ตาม CAPM หุ้นนี้จะมีผลตอบแทนที่ต้องการต่ำกว่าตลาดด้วย เพราะรับ systematic risk น้อยกว่า

5. ข้อใดอธิบายข้อจำกัดของ VaR ได้ถูกต้องที่สุด?

เฉลย: B — ข้อจำกัดหลักของ VaR คือ (1) ไม่เห็นความรุนแรงของ tail event (2) ไม่ subadditive เสมอ ทำให้ไม่เป็น coherent risk measure (3) พึ่งสมมติฐานการแจกแจงที่อาจไม่ตรงความจริง — บทเรียนปี 2008 แสดงว่าโมเดล VaR ที่ดูดีในภาวะปกติล้มเหลวในวิกฤต ES แก้ปัญหาข้อ (1) และ (2) ได้
กลุ่ม 4

เชิงคำนวณ & ขั้นสูง

เมื่อสูตรปิดไม่มี เราใช้คอมพิวเตอร์จำลอง — พร้อมเรื่องความผันผวนที่เปลี่ยนตามเวลา และความเสี่ยงเครดิตที่ทำให้เกิดวิกฤต 2008

M10

วิธีเชิงตัวเลข

Numerical Methods

นิยาม

วิธีเชิงตัวเลขในการเงินเชิงคณิตศาสตร์คือกลุ่มเทคนิคที่ใช้คอมพิวเตอร์หาคำตอบโดยประมาณสำหรับปัญหาที่ไม่มีสูตรปิด (closed-form solution) อยู่ สามวิธีหลักที่ใช้งานจริงในอุตสาหกรรม ได้แก่ ต้นไม้ทวินาม (binomial tree), การจำลองมอนติคาร์โล (Monte Carlo simulation) และ วิธีผลต่างสืบเนื่อง (finite difference methods) แต่ละวิธีเหมาะกับปัญหาต่างประเภทกัน

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

สูตร Black-Scholes ใช้ได้ดีสำหรับออปชั่นยุโรปที่ exercise ได้แค่วันหมดอายุ แต่ในชีวิตจริงมีออปชั่นอเมริกันที่ exercise ได้ทุกวัน มีออปชั่นที่ราคาขึ้นกับเส้นทางของราคา (path-dependent เช่น Asian option ที่ใช้ราคาเฉลี่ย) หรือออปชั่นที่มีหลายตัวแปรอ้างอิงพร้อมกัน สถานการณ์เหล่านี้ไม่มีสูตรปิดอย่างง่าย จำเป็นต้องพึ่งวิธีเชิงตัวเลข

ในทางปฏิบัติ ผู้อ่านที่ทำงานด้านการกำหนดราคาอนุพันธ์จะพบว่าโค้ดคำนวณส่วนใหญ่ในโต๊ะซื้อขายคือ Monte Carlo หรือ tree engine ไม่ใช่การแทนสูตรตรงๆ

ทฤษฎีและสูตร

1. ต้นไม้ทวินาม Cox-Ross-Rubinstein (CRR)

แบ่งช่วงเวลา $T$ ออกเป็น $n$ ช่วงย่อย แต่ละช่วงกินเวลา $\Delta t = T/n$ ราคาสินทรัพย์ขึ้นหรือลงด้วยปัจจัย:

$$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\qquad d=\frac{1}{u},\qquad p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}$$

โดยที่ $u$ = ปัจจัยขึ้น, $d$ = ปัจจัยลง, $\sigma$ = ความผันผวน (annualized), $r$ = อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง, $p$ = ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral (ไม่ใช่ความน่าจะเป็นจริงในโลก) ที่ราคาจะขึ้น

สังเกตว่า $p$ ถูกสร้างให้ทำให้ราคาเติบโตที่อัตรา $r$ ใน expectation เท่านั้น — นี่คือหัวใจของ risk-neutral pricing

2. การคิดราคาย้อนกลับ (Backward Induction)

เริ่มจากปลายต้นไม้ คำนวณ payoff ทุก node จากนั้นย้อนกลับมาหา node ปัจจุบัน:

$$V=e^{-r\Delta t}\big(pV_u+(1-p)V_d\big)$$

โดยที่ $V$ = มูลค่าออปชั่น ณ node ปัจจุบัน, $V_u$ = มูลค่าถ้าราคาขึ้น, $V_d$ = มูลค่าถ้าราคาลง, $e^{-r\Delta t}$ = ปัจจัยคิดลด

สำหรับออปชั่นอเมริกัน ในแต่ละ node ให้เปรียบ $V$ กับ payoff จาก early exercise และใช้ค่าที่สูงกว่า — นี่คือข้อได้เปรียบของต้นไม้เหนือสูตร Black-Scholes

3. การจำลองมอนติคาร์โล

สุ่มเส้นทางราคา $N$ เส้น โดยแต่ละเส้นใช้:

$$S_T=S_0\exp\!\left(\left(r-\tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma\sqrt{T}\,Z\right),\quad Z\sim N(0,1)$$

โดยที่ $S_0$ = ราคาปัจจุบัน, $S_T$ = ราคา ณ เวลา $T$, $Z$ = ตัวแปรสุ่มมาตรฐานปกติ, $r-\frac{1}{2}\sigma^2$ = อัตราเติบโต "ปรับ Ito" (Ito correction)

จากนั้นคำนวณราคาออปชั่นเป็นค่าเฉลี่ยของ payoff ที่คิดลดแล้ว:

$$\hat{C}=e^{-rT}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\text{payoff}_i$$

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (standard error) ของการประมาณลดลงตาม $1/\sqrt{N}$ — ต้องการเส้นทางมากขึ้น 4 เท่าเพื่อลดข้อผิดพลาดลงครึ่งหนึ่ง

4. วิธีผลต่างสืบเนื่อง (Finite Difference)

แก้ PDE Black-Scholes โดยแทนที่อนุพันธ์ด้วยผลต่างในตาราง (grid) สองมิติของเวลาและราคา วิธีนี้มีประสิทธิภาพสูงสำหรับออปชั่นมิติเดียว แต่ซับซ้อนขึ้นเมื่อมิติเพิ่ม

5. การลดความแปรปรวน (Variance Reduction)

เพิ่มความแม่นยำ Monte Carlo โดยไม่เพิ่มจำนวนเส้นทาง วิธีที่นิยม ได้แก่ antithetic variates (จับคู่ $Z$ กับ $-Z$ ทุกครั้ง) และ control variates (ใช้ตัวแปรที่รู้ค่าจริงช่วยปรับ)

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: หุ้นราคา $S_0=100$ บาท, $\sigma=20\%$, $r=5\%$, $\Delta t=1$ ปี (ต้นไม้ 1 ขั้น)

ขั้นที่ 1 — หาปัจจัยขึ้น-ลง:

$$u=e^{0.20\times\sqrt{1}}=e^{0.20}\approx1.2214,\qquad d=\frac{1}{1.2214}\approx0.8187$$

ขั้นที่ 2 — หาความน่าจะเป็น risk-neutral:

$$p=\frac{e^{0.05\times1}-0.8187}{1.2214-0.8187}=\frac{1.0513-0.8187}{0.4027}=\frac{0.2326}{0.4027}\approx0.578$$

ขั้นที่ 3 — ราคาหุ้นปลายปี: ถ้าขึ้น = $100\times1.2214=122.14$ บาท, ถ้าลง = $100\times0.8187=81.87$ บาท

ขั้นที่ 4 — คิดราคา call option ที่ K=100:

$V_u=\max(122.14-100,0)=22.14$, $\quad V_d=\max(81.87-100,0)=0$

$$V=e^{-0.05\times1}\big(0.578\times22.14+(1-0.578)\times0\big)=0.9512\times12.80\approx12.18 \text{ บาท}$$

ผล: ออปชั่นมีมูลค่าประมาณ 12.18 บาท (ใกล้เคียง Black-Scholes ที่ ~10.45 บาท — ต้นไม้ 1 ขั้นยังหยาบ แต่แสดงกลไกได้ชัด)

🎯 เชื่อมกับงานจริง

เมื่อไหร่ใช้ต้นไม้: ออปชั่นอเมริกัน, ออปชั่นบนหุ้นที่มีเงินปันผล, สัญญาที่มีเงื่อนไข early exercise — เพราะต้นไม้ตรวจ early exercise ทุก node ได้ง่าย

เมื่อไหร่ใช้มอนติคาร์โล: ออปชั่น path-dependent เช่น Asian option (ใช้ราคาเฉลี่ย), barrier option, ออปชั่นที่ขึ้นกับหลายสินทรัพย์พร้อมกัน — เพราะ Monte Carlo ขยายมิติได้ง่ายกว่า tree

เมื่อไหร่ใช้ finite difference: ออปชั่น 1 ตัวแปรที่ต้องการ Greeks แม่นยำสูง หรือ PDE ที่มีขอบเขตซับซ้อน

โต๊ะซื้อขายขนาดใหญ่มักรัน Monte Carlo หลายแสนเส้นทางต่อวัน GPU เข้ามาช่วยเร่งความเร็วได้มหาศาล

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Binomial Tree
ต้นไม้ทวินาม — โมเดลแยกช่วงเวลาที่ราคาขึ้นหรือลงทีละขั้น
Risk-neutral Probability
ความน่าจะเป็นสมมุติที่ทำให้สินทรัพย์ทุกชิ้นเติบโตที่อัตราไร้ความเสี่ยง $r$ — ใช้คิดราคา ไม่ใช่ความน่าจะเป็นในโลกจริง
Backward Induction
การคำนวณย้อนจากปลายต้นไม้มาต้น เพื่อหามูลค่าออปชั่น ณ ปัจจุบัน
Monte Carlo Simulation
การสุ่มเส้นทางราคาจำนวนมากแล้วเฉลี่ย payoff เพื่อประมาณราคาออปชั่น
Standard Error
ความคลาดเคลื่อนของค่าประมาณ Monte Carlo ลดลงตาม $1/\sqrt{N}$
Path-dependent Option
ออปชั่นที่ payoff ขึ้นกับเส้นทางราคาตลอดอายุ ไม่ใช่แค่ราคาสุดท้าย
Finite Difference Method
วิธีแก้สมการ PDE โดยแทนที่อนุพันธ์ด้วยผลต่างในตาราง
Antithetic Variates
เทคนิคลดความแปรปรวน Monte Carlo โดยจับคู่ตัวแปรสุ่ม $Z$ กับ $-Z$
Early Exercise
การใช้สิทธิออปชั่นก่อนวันหมดอายุ — ทำได้เฉพาะออปชั่นอเมริกัน
Ito Correction
พจน์ $-\frac{1}{2}\sigma^2$ ในสูตร geometric Brownian motion ที่เกิดจากคณิตศาสตร์ Ito calculus
M11

อนุกรมเวลาและความผันผวน

Time Series & Volatility

นิยาม

การวิเคราะห์อนุกรมเวลาทางการเงินศึกษาพฤติกรรมของราคาและผลตอบแทนในมิติเวลา โดยเฉพาะคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งคือ ความผันผวน (volatility) ซึ่งไม่คงที่ตามที่ Black-Scholes สมมุติ แต่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและมีพฤติกรรมเกาะกลุ่ม แบบจำลอง EWMA และ GARCH คือเครื่องมือมาตรฐานในการจับพฤติกรรมนี้

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

หากสังเกตกราฟผลตอบแทนรายวันของดัชนีหุ้นใดๆ จะเห็นว่าช่วงที่ผันผวนสูงมักอยู่รวมกัน (ช่วง 2008 หรือ 2020 หุ้นผันผวนหนักหลายสัปดาห์ติดกัน) ไม่กระจายสม่ำเสมอตลอดเวลา ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า volatility clustering

นอกจากนี้การกระจายของผลตอบแทนจริงมี fat tails — เหตุการณ์รุนแรงเกิดบ่อยกว่าที่การแจกแจงปกติทำนาย แบบจำลอง GARCH จับทั้งสองคุณสมบัตินี้ได้ดีกว่าการสมมุติ $\sigma$ คงที่มาก

ทฤษฎีและสูตร

1. ความแปรปรวนแบบ EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)

ให้น้ำหนักมากกับข้อมูลล่าสุด โดยน้ำหนักลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามความเก่าของข้อมูล:

$$\sigma_t^2=\lambda\sigma_{t-1}^2+(1-\lambda)r_{t-1}^2$$

โดยที่ $\sigma_t^2$ = ความแปรปรวนโดยประมาณ ณ เวลา $t$, $r_{t-1}$ = ผลตอบแทนในช่วงก่อนหน้า, $\lambda$ = ค่าสลาย (decay factor) มักอยู่ที่ 0.94 (สำหรับข้อมูลรายวัน ตาม RiskMetrics) ค่า $\lambda$ สูง = จำข้อมูลเก่านานขึ้น

EWMA ไม่มีค่าเฉลี่ยระยะยาว (long-run mean) — ความผันผวนสามารถล่องลอยไปได้เรื่อยๆ

2. แบบจำลอง GARCH(1,1)

Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity — เพิ่มค่าเฉลี่ยระยะยาวเข้าไปใน EWMA:

$$\sigma_t^2=\omega+\alpha\,r_{t-1}^2+\beta\,\sigma_{t-1}^2$$

โดยที่ $\omega$ = ค่าคงที่ (ผูกกับความแปรปรวนระยะยาว), $\alpha$ = น้ำหนักของ "ข่าวล่าสุด" ($r_{t-1}^2$), $\beta$ = น้ำหนักของความผันผวนเดิม ($\sigma_{t-1}^2$)

ความคงอยู่ (Persistence) ของ shock วัดด้วย:

$$\text{persistence}=\alpha+\beta$$

ถ้า $\alpha+\beta$ ใกล้ 1 หมายความว่า shock ความผันผวนจางช้า (จำนาน) — ตลาดหุ้นส่วนใหญ่มี persistence สูง

ความแปรปรวนระยะยาว (Unconditional Variance):

$$\sigma_{LR}^2=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$$

ค่านี้คือ "แรงดึงกลับ" ที่ GARCH ดึงความผันผวนกลับสู่ระดับปกติในระยะยาว

3. Implied Volatility vs Realized Volatility

Realized volatility คือความผันผวนที่คำนวณจากราคาย้อนหลัง ส่วน implied volatility คือความผันผวนที่ตลาดกำหนดราคาออปชั่นไว้ ซึ่งสะท้อนการคาดการณ์ล่วงหน้าของตลาด

Volatility smile/skew: ถ้า Black-Scholes ถูกต้องสมบูรณ์ implied volatility ควรเท่ากันทุก strike แต่ในความเป็นจริง implied volatility ต่างกันตาม strike (skew) และอายุออปชั่น (term structure) — นี่คือหลักฐานว่า Black-Scholes มีข้อจำกัด

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์ GARCH(1,1): $\omega=0.000002,\; \alpha=0.1,\; \beta=0.85$

ความคงอยู่: $\alpha+\beta=0.1+0.85=0.95$ — หมายความว่า shock ความผันผวนยังคงอยู่ 95% ในช่วงถัดไป จางช้ามาก

ความแปรปรวนระยะยาว:

$$\sigma_{LR}^2=\frac{0.000002}{1-0.95}=\frac{0.000002}{0.05}=0.00004$$

ดังนั้น $\sigma_{LR}=\sqrt{0.00004}\approx0.00632$ ต่อวัน หรือ $0.632\%$ ต่อวัน (annualized $\approx 10\%$)

อัปเดตความผันผวน: สมมุติเมื่อวานนี้ผลตอบแทน $r_{t-1}=-2\%=-0.02$ และ $\sigma_{t-1}^2=0.00030$:

$$\sigma_t^2=0.000002+0.1\times(0.02)^2+0.85\times0.00030=0.000002+0.00004+0.000255=0.000297$$

$\sigma_t=\sqrt{0.000297}\approx1.72\%$ ต่อวัน — ความผันผวนปรับขึ้นเล็กน้อยจาก shock เมื่อวาน

🎯 เชื่อมกับงานจริง

การบริหารความเสี่ยง: VaR และ CVaR ที่คำนวณด้วย GARCH มีความแม่นยำสูงกว่าการใช้ $\sigma$ คงที่ เพราะ GARCH อัปเดตความผันผวนตามสภาวะตลาดปัจจุบัน

การกำหนดราคาออปชั่น: Volatility smile บอกว่าตลาดมอง put options ที่ deep out-of-the-money แพงกว่าที่ Black-Scholes ควรจะเป็น — สะท้อนความกลัว tail risk จริงๆ

ข้อควรระวัง: โมเดล GARCH ถูก calibrate จากข้อมูลในอดีต ช่วงที่ตลาดอยู่ในระบอบใหม่ (regime change) โมเดลอาจปรับตัวไม่ทันหรือประเมินความเสี่ยงต่ำเกินจริง

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

Volatility Clustering
ปรากฏการณ์ที่ช่วงผันผวนสูงมักตามด้วยช่วงผันผวนสูง และช่วงผันผวนต่ำตามด้วยต่ำ — สังเกตได้ในตลาดหุ้นทั่วโลก
EWMA
Exponentially Weighted Moving Average — ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักแบบเอกซ์โพเนนเชียล ให้น้ำหนักข้อมูลล่าสุดมากกว่า
GARCH(1,1)
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity — แบบจำลองความผันผวนที่มีค่าเฉลี่ยระยะยาวและดึงความผันผวนกลับ
Persistence
$\alpha+\beta$ ใน GARCH วัดว่า shock ความผันผวนจางช้าแค่ไหน ยิ่งใกล้ 1 จางยิ่งช้า
Unconditional Variance
ความแปรปรวนเฉลี่ยระยะยาวของ GARCH = $\omega/(1-\alpha-\beta)$
Implied Volatility
ความผันผวนที่ถอดออกมาจากราคาออปชั่นในตลาด — สะท้อนมุมมองอนาคตของตลาด
Realized Volatility
ความผันผวนที่คำนวณจากราคาจริงในอดีต
Volatility Smile
รูปแบบที่ implied volatility สูงกว่าที่ Strike ห่างจาก ATM มากๆ — หลักฐานที่ Black-Scholes ไม่สมบูรณ์
Volatility Skew
รูปแบบที่ implied volatility ของ put ราคาต่ำสูงกว่า call ราคาสูง — ตลาดกังวล downside มากกว่า upside
Stationarity
คุณสมบัติของอนุกรมเวลาที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่เปลี่ยนตามเวลา — สมมุติฐานสำคัญของโมเดลหลายตัว
M12

ความเสี่ยงเครดิตและผลิตภัณฑ์โครงสร้าง

Credit Risk & Structured Products

นิยาม

ความเสี่ยงเครดิต (credit risk) คือความเสี่ยงที่คู่สัญญาจะไม่ชำระหนี้ตามสัญญา ไม่ว่าจะเป็นลูกหนี้รายย่อย บริษัท หรือรัฐบาล ผลิตภัณฑ์โครงสร้าง (structured products) คือเครื่องมือทางการเงินที่บรรจุและแบ่งชั้นความเสี่ยงนี้ใหม่ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง (และฉาวโฉ่) ที่สุดคือ CDO ซึ่งมีบทบาทกลางใน วิกฤตการเงิน 2008

สัญชาตญาณ — ทำไมสำคัญ

เมื่อธนาคารปล่อยกู้หนึ่งพันรายการ สิ่งที่เกิดขึ้นกับแต่ละรายไม่สำคัญเท่ากับสิ่งที่เกิดขึ้นพร้อมกันหลายราย ถ้าการผิดนัดเป็นอิสระจากกัน ธนาคารสามารถกระจายความเสี่ยงได้ดี แต่ถ้าการผิดนัดเกิดพร้อมกัน (สหสัมพันธ์สูง เช่น วิกฤตเศรษฐกิจทั้งประเทศ) ความเสียหายจะระเบิดพร้อมกัน — นี่คือหัวใจที่นักการเงินต้องเข้าใจ

ทฤษฎีและสูตร

1. ขาดทุนคาดหวัง (Expected Loss)

กรอบมาตรฐานในการวัดความเสี่ยงเครดิตแบ่งเป็นสามองค์ประกอบ:

$$\mathrm{EL}=\mathrm{PD}\times\mathrm{LGD}\times\mathrm{EAD}$$

โดยที่:

  • $\mathrm{PD}$ (Probability of Default) = โอกาสที่ลูกหนี้จะผิดนัดชำระ ในช่วงเวลาที่กำหนด เช่น 1 ปี
  • $\mathrm{LGD}$ (Loss Given Default) = สัดส่วนที่สูญเสียจริงเมื่อผิดนัด หลังหักสิ่งที่เรียกคืนได้ (recovery) ถ้า recovery = 60% แล้ว LGD = 40%
  • $\mathrm{EAD}$ (Exposure at Default) = ยอดสินเชื่อหรือมูลค่าสัญญา ณ เวลาที่ผิดนัด

EL คือ "ขาดทุนที่คาดได้" — ธนาคารควรตั้งสำรองเท่านี้ไว้ล่วงหน้า ความเสี่ยงที่แท้จริงน่ากลัวกว่าคือ unexpected loss ที่เกินจาก EL

2. แบบจำลองโครงสร้างของเมอร์ตัน (Merton Structural Model)

มองบริษัทเป็น option: ผู้ถือหุ้น (equity holders) ถือ call option บนสินทรัพย์ของบริษัท $V_T$ ที่ราคาใช้สิทธิเท่ากับมูลค่าหนี้ $D$ ที่ครบกำหนด

บริษัทผิดนัดเมื่อมูลค่าสินทรัพย์ต่ำกว่าหนี้:

$$\text{บริษัทผิดนัด} \iff V_T < D$$

มูลค่าส่วนทุนคือ:

$$E_T=\max(V_T-D,\;0)$$

ดังนั้น equity เป็น call option, หนี้เป็น short put option บนสินทรัพย์ PD สามารถคำนวณได้จากการแจกแจงของ $V_T$

3. Credit Spread

อัตราดอกเบี้ยที่ผู้กู้ต้องจ่ายสูงกว่าพันธบัตรรัฐบาล (ไร้ความเสี่ยง) เรียกว่า credit spread มันสะท้อนทั้ง $\mathrm{PD}$ และ $\mathrm{LGD}$ ที่ตลาดประมาณการ

4. Reduced-Form / Hazard Rate Model

แทนที่จะมองสินทรัพย์ของบริษัทโดยตรง แบบจำลอง reduced-form สมมุติว่าการผิดนัดเกิดขึ้นแบบ "เหตุการณ์สุ่ม" ด้วย hazard rate $\lambda$ — โอกาสผิดนัดในช่วงเล็กๆ $dt$ คือ $\lambda\,dt$ วิธีนี้ยืดหยุ่นกว่าและ calibrate กับ credit spread ได้ง่ายกว่า

5. Credit Default Swap (CDS)

CDS คือสัญญาประกันการผิดนัด: ผู้ซื้อ CDS จ่ายค่าธรรมเนียมรายงวด (credit spread) ให้ผู้ขาย และถ้าลูกหนี้อ้างอิงผิดนัด ผู้ขาย CDS จะชดเชยความเสียหาย CDS ทำให้ซื้อขายความเสี่ยงเครดิตแยกออกจากเงินกู้จริงได้

6. การแปลงสินทรัพย์เป็นหลักทรัพย์ (Securitization) และ CDO

ธนาคารรวมสินเชื่อหลายพันรายการเข้าด้วยกัน แล้วแบ่ง (tranching) กระแสเงินสดเป็นชั้น (tranche) ตามลำดับความสำคัญ:

  • Senior tranche: ได้รับเงินก่อน ความเสี่ยงต่ำ ดอกเบี้ยต่ำ — มักได้ rating AAA
  • Mezzanine tranche: กลาง
  • Equity/Junior tranche: รับผลขาดทุนก่อน ความเสี่ยงสูง ดอกเบี้ยสูง

CDO (Collateralized Debt Obligation) คือผลิตภัณฑ์ที่สร้างจากการ tranche กลุ่มสินทรัพย์เครดิต

🧮 ตัวอย่างคำนวณ

โจทย์: พอร์ตสินเชื่อ SME รายหนึ่ง มีข้อมูลดังนี้

  • $\mathrm{EAD} = 1{,}000{,}000$ บาท
  • $\mathrm{PD} = 2\%$ ต่อปี (ลูกหนี้ระดับ BBB)
  • $\mathrm{LGD} = 40\%$ (คาดว่า recovery 60% จากหลักทรัพย์ค้ำประกัน)

คำนวณ Expected Loss:

$$\mathrm{EL}=0.02\times0.40\times1{,}000{,}000=8{,}000 \text{ บาทต่อปี}$$

ธนาคารควรตั้ง สำรอง 8,000 บาท ต่อปีสำหรับสินเชื่อรายนี้ ถ้าพอร์ตมีลูกหนี้ลักษณะนี้ 10,000 ราย ต้องตั้งสำรองรวม 80 ล้านบาทต่อปี

ถ้า LGD สูงขึ้นเป็น 70%: $\mathrm{EL}=0.02\times0.70\times1{,}000{,}000=14{,}000$ บาท — เห็นว่า LGD มีผลมากถ้าหลักประกันอ่อนแอ

🎯 เชื่อมกับงานจริง

บทเรียนวิกฤต 2008 — สิ่งที่ผิดพลาด:

  1. สหสัมพันธ์การผิดนัดถูกประเมินต่ำ: โมเดล CDO สมมุติว่าสินเชื่อบ้านในรัฐต่างๆ ผิดนัดอิสระจากกัน แต่เมื่อราคาบ้านร่วงทั่วประเทศพร้อมกัน สหสัมพันธ์พุ่งสูงจนโมเดลผิดพลาดมหาศาล
  2. เรตติ้ง AAA ที่ผิดพลาด: agency เรตติ้งใช้โมเดลที่ calibrate จากข้อมูลตลาดบ้านขาขึ้นเท่านั้น ไม่เคยเห็นข้อมูลราคาบ้านร่วงพร้อมกันระดับประเทศ
  3. โมเดลพึ่งข้อมูลอดีตที่ไม่มีวิกฤต: Gaussian copula ที่ใช้ calibrate สหสัมพันธ์ใช้ข้อมูล 5-10 ปีก่อนวิกฤต ซึ่งไม่มีช่วง stress เพียงพอ

Counterparty Risk: ถ้าผู้ขาย CDS (เช่น AIG) ล้มละลายก่อนที่จะจ่ายชดเชย ผู้ซื้อก็ยังสูญเสียอยู่ดี — นี่คือ counterparty risk ที่ตลาด OTC เผชิญ

⚠️ บทเรียนที่ใช้ได้เสมอ: โมเดลเครดิตพึ่งสมมติฐานสหสัมพันธ์ที่เปราะ — อย่าเชื่อโมเดลเกินไป โดยเฉพาะในส่วนหาง (tail) ที่ข้อมูลน้อยแต่ความเสียหายใหญ่ที่สุด

📚 ศัพท์ที่ควรรู้

PD (Probability of Default)
โอกาสที่ลูกหนี้จะผิดนัดชำระหนี้ในช่วงเวลาที่กำหนด
LGD (Loss Given Default)
สัดส่วนที่สูญเสียจริงเมื่อผิดนัด หลังหัก recovery
EAD (Exposure at Default)
ยอดสินเชื่อหรือมูลค่าสัญญา ณ เวลาที่ผิดนัด
Expected Loss (EL)
ขาดทุนคาดหวัง = PD × LGD × EAD — ธนาคารต้องตั้งสำรองเท่านี้
Merton Model
แบบจำลองที่มองส่วนทุนของบริษัทเป็น call option บนสินทรัพย์
Credit Spread
ส่วนต่างอัตราดอกเบี้ยเหนือพันธบัตรรัฐบาล สะท้อนความเสี่ยงเครดิต
CDS (Credit Default Swap)
สัญญาประกันการผิดนัด — ผู้ซื้อจ่ายค่าธรรมเนียมเป็นงวด ผู้ขายรับความเสี่ยง
Securitization
การรวมสินทรัพย์และแปลงเป็นหลักทรัพย์ที่ขายได้ในตลาด
CDO (Collateralized Debt Obligation)
ผลิตภัณฑ์โครงสร้างที่แบ่งชั้นความเสี่ยงเครดิตจากกลุ่มสินทรัพย์
Tranche
ชั้นความเสี่ยงใน CDO — senior ปลอดภัยที่สุด equity เสี่ยงที่สุด
Default Correlation
สหสัมพันธ์ระหว่างการผิดนัดของลูกหนี้หลายราย — ต่ำ = กระจายความเสี่ยงได้ดี สูง = ระเบิดพร้อมกัน

📝 บททดสอบกลุ่ม 4 · เชิงคำนวณ & ขั้นสูง

เลือกคำตอบ ระบบเฉลยพร้อมคำอธิบายทันที

1. ในต้นไม้ทวินาม CRR หากความผันผวน $\sigma=30\%$ และ $\Delta t=0.25$ ปี ปัจจัยขึ้น $u$ มีค่าเท่าใด?

เฉลย: B — สูตร CRR คือ $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ นำ $\sigma=0.30$ และ $\Delta t=0.25$ แทนได้ $u=e^{0.30\times0.5}=e^{0.15}\approx1.162$ ข้อ A ใช้ $\Delta t=1$ ผิด ข้อ C ใช้ $\Delta t$ โดยตรงแทน $\sqrt{\Delta t}$ ข้อ D ใช้ผลบวกแทน exponential

2. ในการจำลองมอนติคาร์โล ถ้าต้องการลดความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (standard error) ลงเหลือ 1 ใน 3 ของเดิม ต้องเพิ่มจำนวนเส้นทาง ($N$) เป็นกี่เท่า?

เฉลย: C — Standard error $\propto 1/\sqrt{N}$ ถ้าต้องการให้ลดลง 3 เท่า ต้องให้ $\sqrt{N}$ เพิ่ม 3 เท่า คือ $N$ ต้องเพิ่ม $3^2=9$ เท่า เช่น จาก 10,000 เส้นทางเป็น 90,000 เส้นทาง

3. แบบจำลอง GARCH(1,1) มีค่า $\alpha=0.08$ และ $\beta=0.90$ ข้อใดอธิบายถูกต้องที่สุด?

เฉลย: A — Persistence = $\alpha+\beta=0.08+0.90=0.98$ (ใกล้ 1 แต่ยังน้อยกว่า 1 จึงยัง stationary) หมายความว่า shock จางช้า ไม่ใช่ไม่ stationary (B ผิด) ความแปรปรวนระยะยาว = $\omega/(1-0.98)$ ไม่ใช่ $\omega\times0.98$ (C ผิด) และ $\alpha$ น้อยกว่า $\beta$ ดังนั้น $\beta$ (ความผันผวนเดิม) สำคัญกว่า $\alpha$ (ข้อมูลใหม่) (D ผิด)

4. ธนาคารแห่งหนึ่งมีสินเชื่อ EAD = 5,000,000 บาท, PD = 1%, LGD = 50% และสินเชื่ออีกรายการหนึ่ง EAD = 2,000,000 บาท, PD = 5%, LGD = 30% Expected Loss รวมของทั้งสองรายการคือเท่าใด?

เฉลย: D — รายการ 1: $0.01\times0.50\times5{,}000{,}000=25{,}000$ บาท · รายการ 2: $0.05\times0.30\times2{,}000{,}000=30{,}000$ บาท · รวม $= 25{,}000+30{,}000=55{,}000$ บาท

5. บทเรียนหลักจากวิกฤตการเงิน 2008 ที่เกี่ยวกับโมเดลความเสี่ยงเครดิตคือข้อใด?

เฉลย: B — แก่นของวิกฤต 2008 คือโมเดล CDO (เช่น Gaussian copula) ถูก calibrate จากข้อมูลตลาดบ้านขาขึ้น 10 ปี ซึ่งไม่เคยเห็นราคาบ้านร่วงทั่วประเทศพร้อมกัน ทำให้ประเมิน default correlation ต่ำเกินจริงอย่างมาก เมื่อ tail event เกิดขึ้นจริง Senior tranche AAA ที่ควร "ปลอดภัย" ก็สูญเสียมหาศาล — บทเรียน: อย่าเชื่อโมเดลเกินไป โดยเฉพาะในส่วนหาง

🎓 จากสูตร สู่สัญชาตญาณเชิงปริมาณ

วิศวกรรมการเงินไม่ได้อ่านรอบเดียวแล้วเก่ง — ความเข้าใจเกิดจากการกดเลขตามตัวอย่าง ลองเปลี่ยนพารามิเตอร์ดูว่าราคากับความเสี่ยงขยับยังไง แล้วผูกกับสิ่งที่เห็นในตลาดจริง

1
สร้างแผนที่ก่อน — รอบแรกขอแค่รู้ว่าเครื่องมือแต่ละชิ้น (ตั้งราคา / วัดเสี่ยง / เฮดจ์) อยู่โมดูลไหน
2
ลงมือคำนวณ — หยิบตัวอย่างในโมดูล 5 (Black-Scholes) กับ 9 (VaR) มากดเลขเองอย่างน้อยอย่างละครั้ง
3
เข้าใจ "จุดพัง" ของโมเดล — โมดูล 9 และ 12 สำคัญที่สุดสำหรับคนทำงานจริง: รู้ว่าโมเดลโกหกเราตรงไหนได้บ้าง
4
ใช้เป็นเครื่องมือคิด ไม่ใช่เครื่องทำนาย — FE ช่วยวัดและจัดการความไม่แน่นอน ไม่ใช่บอกว่าพรุ่งนี้ราคาจะขึ้นหรือลง
"All models are wrong, but some are useful." — โมเดลทุกตัวผิด แต่บางตัวมีประโยชน์ ถ้ารู้ว่ามันผิดตรงไหน 🧮🔥